模的相对Hochschild上同调的概念是Ardizzoni，Brzezinski和Menini在研究代数的形式光滑性以及形式光滑双模时引入的，这一概念在非交换代数几何中扮演着重要角色，它给出了可分双模以及形式光滑双模的一种刻划。　　 设к是交换环，A，B是к-代数，M是B-A-双模且作为左B-模是生成子.B在A上关于模BMA的相对Hochschild上同调是利用相对εM，B-右导出函子来定义的，这里εM，B是和BMA有关的由B-B-双模满态射构成的投射类.同样，利用相对εM.B-左导出函子，本文相应地给出模的相对Hochschild同调的定义.它们实际上是通常的（相对）Hochsehild同调与上同调的推广.这里通常的相对Hochsehild（上）同调，指的是和一个代数同态A→B相关的相对Hochschild（上）同调。　　 通常的Hochschild同调群与上同调群是代数的重要同调性质，也是Morita等价下的不变量.从Ardizzoni，Brzezinski和Menini给出的一个结果中可以看出，模的相对Hochschild上同调是Morita等价下的不变量.同样可证，模的相对Hochschild同调在Morita等价下也是保持的。　　 在代数中，另一种重要的等价关系是Morita型稳定等价.对于Morita型稳定等价，Liu和Xi证明了有限维代数的非零阶Hochschild同调群是Morita型稳定等价下的不变量.关于Hochschild上同调群，Xi在一般代数类上引入了伴随型稳定等价的概念，并证明了：如果Aitin代数B和C在基础环上投射，且存在一个伴随型稳定等价，则B和C的非零阶Hochschild上同调群都同构，从而推广了Pogorzaly对自入射代数讨论的结果.结合Xi和Dugas，Martinez-Villa的结果可知，若两个不可分解有限维代数有可分半单商，则它们之间的Morita型稳定等价保持非零阶Hochschild上同调群.那么对于模的相对Hochschild同调与上同调，是否也是Morita型稳定等价下的不变量呢?本文给出了肯定的回答，即有下面的定理：　　 定理1设к是完备域，A是к-代数，B和C是有限维后к-代数.设双模BMc和CNB导了B和C之间的Morita型稳定等价，且M还具有B-A-双模结构，则对所有的n≥1，　　 （1）B在A上关于模BMA的n阶Hochschild（上）同调与C在A上关于模G（N（）B M）A的n阶Hochschild（上）同调是同构的；　　 （2）进一步地，若M的B-A-双模结构是由某个代数同态μ：A→C诱导的，则B在A上关于模BMA的n阶Hochschild（上）同调与C的通常的n阶A-相对Hochschild（上）同调是同构的；且B在A上关于模BMA的相对Hochschild（上）同调维数小于或等于C的通常的A-相对Hochschild（上）同调维数。　　 通常的n阶Hochschild（上）同凋在Morita型稳定等价下是保持的，利用定理1，本文给出了一种新的证法.同时，通过模的相对Hochschild上同调维数对可分双模及形式光滑双模的刻划，定理1也给出了双模BMA为形式光滑双模（resp.可分双模）的一个充分条件，即若μ：A→C为形式光滑扩张（resp.可分扩张），则BMA为形式光滑双模（resp.可分双模）.特别地，当B和C是Morita等价时，上述条件是充分必要条件，分别在文[46]（可分性）与文[3]（形式光滑性）中已经证明。　　 另一方面，本文主要考察了代数的张量积关于模的相对Hochschild（上）同调.设后是域，A是к-代数，B和C是有限维к-代数.用（）表示（）к.考虑B和C的张量积代数B（）C.我们知道，它的通常的Hochschild（上）同调可由B和C的各阶Hochschild（上）同调给出.本文证明了，对于B（）C关于模的相对Hochschild（上）同凋，也可由B和C的各阶模的相对Hochschild（上）同调给出。　　 记Λ=B（）C，A=A（）A给定双模BMA和GNA，使得它们分别是左B-模范畴和左C-模范畴的有限维的生成子，易知M（）N是Λ-A-双模且作为左Λ-模是有限维的生成子.则本文有如下结果：　　 这个结果推广了通常的Hochschild同调与上同调的结论，为今后对模的相对Hochschild同调与上同调的讨论提供了一些基本信息。