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非线性Sehr(o)dinger方程出现在物理的许多领域．例如一群全同的粒子在超冷状态下相互作用，Schr(o)dinger方程近似地描述了粒子相互影响的演化．许一多学者对不同形式的Schr(o)dinger方程作了研究并就解的存在性，唯一性，径向对称性作了很多工作．本文考虑半经典意义下的非线性Schr(o)dinger和Schr(o)dinger-Maxwell方程，即寻求Plank常数危h→0时方程的解并研究其渐进行为．由量子力学的对应原理可知，h→0形式上描述了量子力学到经典力学的过渡．故此研究有着重要的物理意义．
第一章我们简单介绍了半经典意义下的非线性Schr(o)dinger和非线性Schr(o)dinger-Maxwell方程及相关方程的研究现状并简单介绍了我们的工作．详细地，有以下两个方面的内容．
第二章我们考虑如下单个非线性Schr(o)dinger方程在半经典意义下的解—ε△u+V(x)u=K(x)up，u∈W1，2(RN)，(S)其中ε=h．此方程的研究有两个主要方法．一种方法是Lyapunov-Schmidt约化，A．Floer和A．Weinstein [38]首先用该方法证明N=1，K≡1时方程(S)存在spike型的解，然后Y．G．Oh[62]将此方法推广到高维(N≥2)．另一种方法是直接变分法，见P．H．Rabinowitz[64]，X．Wang[69]．
在文[20l中，S．Cingolani和M．Lazzo利用拓扑方法证明若V有正下界且ε很小时方程(S)有多重有界态解(bound state)．若V(x)≥α|x|-α，0≤α＜2(V可在无穷远处为0)，此时Sobolev空间H1(RN)已不再适用A.Ambrosetti，V．Felli和A．Malchiodi[5]利用加权Sobolev空间的嵌入，积分估计和逐点估计证明方程(S)有基态解(ground state)．本章我们考虑V(x)≥α|x|-α，0≤α＜2时方程(S)多重有界态解的存在性．(1)首先根据势V(x)和非线性项K(x)的系数的某种局部极小性确定区域A，然后将方程(S)非线性项K(x)up在区域A之外修改，再对修改后的方程做尺度变换并记为(T)．(Ⅱ)我们用拓扑方法(例如[19]，[22])证明修改后的方程有多重解的结论．我们先在附录中证明方程(T)的解流形的某些子水平中的元素所定义的测度是紧的，由于V可能在无穷远处为0，我们需要比文[20]，[70]更多的讨论来去除测度Vanishing和Dichotomy的可能性．由测度是紧的结论我们可构造修改后方程的解流形的某些子水平和集合M(由V、K决定)之间的同伦关系，并且证明修改后的方程所对应的能量泛函满足Palais-Smale条件，从而我们推知修改后的方程解的数目不低于集合M的Ljusternik-Scbnlrelman畴数。(Ⅲ)利用Aambrosetti、v．Felli和A．Malchiodi[5]的积分估计方法和N．S．Trudinger[68]的单向Harnack不等式以及最大值原理我们得到方程(T)的解在IRN上一致指数衰减(平移意义下)，则由上述步骤所得修改后的方程的解确是原方程的解．本章结论将文[20]定理1.1和文[31]定理0.1中V有正下界的条件减弱为V(x)≥α|x|—α，0≤α＜2．
第三章考虑如下Schr(o)dinger-Maxwell系统其中Ω是IR3中区域，ε＞0，此系统的研究仅见如下文献．设1＜p＜11/7，γ=εp-1/2，Ω=R3，T．DAprile，J．Wei[281和D．Ruiz[65]证明了当ε充分小时系统(SM)存在一径向对称且集中于某球面的正解．若取γ=1，T．DAprile和J．Wei证明了当ε充分小ΩQ分别为Rn(n≥3)[29]或R3的有界区域[30]时，系统(SM)(可取更为一般的非线性项)存在clustered spikes．另外，设V=K三1及Ω为Rn(n≥1)中单位球，A．Malchiodi，W．M．Ni和J．Wei证明了具Neumann边界条件的单个方程(S)存在clustered layers．一个自然的问题是系统(SM)是否也存在clustered layers．本章我们研究γ=εp-1/2，7/3＜p＜5，Ω=BR的系统(SM)．应用局部能量化方法(见[40])我们证明对充分大的正数ω和充分大的整数N，当ε很小时系统(SM)确有集中于N个球面的clustered layers解．文[28]和[65]中波函数是单峰的，故没有波-波之间的相互作用．文[29]和[30]中研究多峰波函数，由于γ=1，非线性作用相对耦合作用强，耦合作用对波函数的形状没有大的影响，对中心位置有作用．与已知的clustered spikes和clustered layers不同的是我们所构造的clautered layers的形状依赖于波函数波峰的个数N，这是耦合作用与非线性作用相当的结果．我们所得到的解是Schr(o)dinger-Maxwell系统的一种新的形式的解，这表明系统(SM)有着丰富的解结构．所谓局部能量化方法是Lyapunov-Schmidt约化和变分方法的结合．文[40]和[41]提出此方法，在[8]，[28]等文中此方法得到发展．本章首先利用Green函数对系统(SM)的第二个方程求解将系统(SM)转化成一非局部方程，然后将[28]中构造单峰近似解流型的方法推广到构造N个峰，即由N个ω((3.2)的解)的变换及截断的和构造近似解流形，从而得一隐函数系统．利用单调算子理论可证明此隐函数系统有唯一解，由隐函数定理得到C1光滑性，此光滑性对最后的能量估计有重要作用．再通过线性问题解的唯一性及不动点定理构造系统(SM)在近似解流形法向上的解并将系统(SM)的能量约化到有限维，最后我们求约化能量的最大值从而在近似解流形的邻域上求得系统(SM)的解．