【摘 要】
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复流形是复几何所考虑的基本对象。我们设M是一紧复流形,E为其上的可微分向量丛。借助于它们上面的Hermitian度量我们可以定义两个模空间:一个联系着代数几何;一个联系着微分几何。Kobayashi-Hitchin correspondence说:这两大数学的分支有一座桥梁,由上述两个模空间的一一对应关系而产生。 上面的这一设想在大约二十年前被证明是对的,在基流形M是Kahler流形的情形:
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复流形是复几何所考虑的基本对象。我们设M是一紧复流形,E为其上的可微分向量丛。借助于它们上面的Hermitian度量我们可以定义两个模空间:一个联系着代数几何;一个联系着微分几何。Kobayashi-Hitchin correspondence说:这两大数学的分支有一座桥梁,由上述两个模空间的一一对应关系而产生。 上面的这一设想在大约二十年前被证明是对的,在基流形M是Kahler流形的情形:数学家如Kobayashi,Donaldson,Uhlenbeck和Yau分担了其中的贡献。最近的时问在M是一般的紧复流形,这一设想亦被证明是对的。其中重要的一步是如下的 定理1.M是一紧复流形,设E是M上一稳定的向量丛,则E上存在有Hermitian-Einstein度量。 本文的一个主要的目的是把上面的定理推广到E是—Higgs向量丛的情形;这一结果的意义在于在研究与Kobayashi-Hitchin correspondence相关的问题,如考虑Kobayashi-Hitchin correspondence的形变展现它的作用。我们有定理如下: 定理2.设M是—m维的紧复流形,设（E,θ）是M上—Higgs向量丛,如果（E,θ）是稳定的,则其上存在有Hermitian-Einstein度量。 在第三部分我们考虑了一类Kazdan-Warner型的方程,并且证明了一个存在性的定理,借助于这一结果我们给出了一般的紧复流形M上的全纯线丛上的vortex方程解的存在性的一个充分性条件,或许这一考虑有其它方面的作用的。
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