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对于任意一个群G,我们可以构造一个结合李环L(G),L(G)可以反映出群的一些性质.因此,在群的研究中,李环具有很重要的意义.本文主要把幂零群,Fitting子群,广义Fitting子群,Frattini子群的一些基本性质推广到李环上去,并对李环的一些基本性质进行了研究。
首先,给出了李环中幂零李环,Fitting子环,广义Fitting子环,Frattini子环,李环的非生成元,主列以及李环满足理想化条件的定义。
其次,在这些定义的基础上,本文将给出李环的一些性质。
1.设L是有限李环,则下列条件等价：
(1)L是幂零的；
(2)L的每个子环都是次理想；
(3)L满足理想化条件；
(4)L是Engel李环。
2.设L为可解李环,F为L的Fitting子环：
(1)若0≠N(Δ)L则N包含L的一个非平凡的交换理想,N∩F≠0。
(2)CL(F)=ζ(F)。
3.对于任意李环L,有CL(F*(L))=ζ(F*(L))(∩)F*(L)。
4.设L为一个有限李环,则有：
(1)若N(Δ)L,H≤L,N≤Frat H,则N≤Frat L。
(2)若K(Δ)L,则Frat K≤Frat L。
(3)若N(Δ)L,则Frat(L/N)≥((Frat L)+N)/N,当N≤Frat L时等号成立。
(4)若A是L的交换理想,使得(Frat L)∩A=0,则存在一个子环H,使得L=H+A.H∩A=0。