【摘 要】
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多项式代数是一种基础、典型的非线性代数,可以用来描述和处理各种非线性科学问题.多项式代数的经典内容在于建立存在性理论和方法,而非对具体代数与几何对象进行构造性研究.因为后者需要涉及大量复杂的多项式运算,常常会超出传统的纸上推演的可行范围.多项式代数的研究向构造性和算法化转变始于上个世纪60年代,从那时起,符号与代数计算的方法和软件快速发展,在计算机上进行大规模多项式运算变得现实可行.虽然用符号方法
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多项式代数是一种基础、典型的非线性代数,可以用来描述和处理各种非线性科学问题.多项式代数的经典内容在于建立存在性理论和方法,而非对具体代数与几何对象进行构造性研究.因为后者需要涉及大量复杂的多项式运算,常常会超出传统的纸上推演的可行范围.多项式代数的研究向构造性和算法化转变始于上个世纪60年代,从那时起,符号与代数计算的方法和软件快速发展,在计算机上进行大规模多项式运算变得现实可行.虽然用符号方法处理代数问题可以得到精确的完备解,但往往计算量大、表达式庞杂,导致存储空间增加,计算速度降低,因而远远达不到实际应用的需求.提出更高效的多项式代数算法,并用以有效解决各种理论和实际问题成了近年来多项式代数研究领域的主攻方向.稀疏插值是一种降低代数算法时间复杂度的有效方法,在结式计算、信号处理、压缩感知、不确定性量化等领域都有广泛应用.本文基于稀疏插值技术,研究了两个典型的多项式代数问题:结式消元和最大公因式（GCD）计算,提出了基于隐函数插值的结式消元法和基于稀疏多元多项式插值的最大公因式计算方法,并将基于隐函数插值的结式消元法应用于一类复杂的组合几何优化问题的求解.本文的主要研究内容如下:●研究了隐函数插值问题,设计并实现了隐函数插值算法.给出了隐函数插值的定义和描述,将隐函数插值问题转化为若干个多元有理函数插值问题,结合单变元有理函数插值和稀疏多元多项式插值恢复多元有理函数.针对单变元有理函数插值,采用了高概率算法结合提前终止技术的Cauchy插值法;针对稀疏多元多项式插值,采用了具有确定性多项式时间复杂度的Ben-Or/Tiwari算法.对于有理函数在零点无定义或退化情形,给出了有理函数分子或分母的常数项是否为零的一般性判别方法,并进行了相应的概率分析.●提出了基于隐函数插值的结式消元法,解决了纯符号或数值计算无法处理的一类复杂的非线性多元多项式方程组的求解问题.首先基于两个多元多项式的Sylvester结式,依次消去变元,并消去多余因子,通过给定某些变元的初始数值,结合消元过程构造单变元隐函数的黑盒,将结式消元问题转化为隐函数插值问题,使用隐函数插值算法恢复多项式系统的结式.●将基于隐函数插值的结式消元法应用于一类复杂的组合几何优化问题的求解.包括椭圆上三点构成的三角形的最大周长问题、Morley三等分定理、三角形三边上点构成的三角形最小周长问题.实验表明针对复杂的多项式系统求解问题,基于隐函数插值的结式消元法比纯符号消元更加有效.●研究了多元多项式最大公因式计算的稀疏插值算法.通过引入齐次变元,构造辅助多项式和转换辅助多项式,正规化目标GCD.首先利用关于齐次变元的单变元GCD计算获得目标GCD的稀疏结构,然后基于改进的Zippel算法或Ben-Or/Tiwari算法的稀疏多元多项式插值技术重建齐次变元的系数多项式,即月标GCD的各个齐次多项式.我们给出的插值算法不需要因式分解,对目标GCD的形式也不做任何限制.算法的复杂度与目标GCD的稀疏性及选择的稀疏多元多项式插值算法相关.●为进一步降低隐函数插值法、基于隐函数插值的结式消元法及多元多项式最大公因式计算的稀疏插值算法的时间复杂度,应用了概率和随机技术、模算术和有理向量恢复算法等.
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