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矩阵的低秩近似是一种稀疏表示形式,即利用一个秩较低的矩阵来近似表达原矩阵,不但能保留原矩阵的主要特征,而且可以降低数据的存储空间和计算复杂度。本文研究如何降低矩阵的秩,探讨关于降秩的优化算法,并且把矩阵的低秩近似应用在人脸识别中,进行数值实验及复杂度分析,主要工作包含如下三个方面:1.针对传统低秩矩阵恢复模型需要求解一个高秩矩阵核范数的奇异值分解,导致计算代价高的缺陷,提出基于非负矩阵分解的低秩矩阵恢复模型。新模型通过对矩阵先进行非负因子分解,其低秩性可以快速分解矩阵,从而可以避免对高秩矩阵核范数求解奇异值分解问题,在算法上采用多乘子交替迭代法(ADMM)。用Matlab在ORL,AL_Gore和Windows三个图像数据库中仿真实验表明,与传统低秩矩阵恢复模型相比,新模型求解算法对图像识别率高,降秩效果显著。2.针对如主成分分析等方法只能处理向量的线性关系,无法应用在非线性情形的缺陷,利用核方法可以有效解决非线性问题,提出一种基于二维核主成分分析的拉普拉斯特征映射算法(2D-KPCA+LE)。新算法首先直接对样本矩阵进行二维主成分分析,得到低秩的特征矩阵。然后用核主成分分析将其嵌入到高维空间提取非线性特性。针对其核函数需要大量存储空间,用LE再次降维。从ORL和FERET人脸数据库中的仿真实验看出,2D-KPCA+LE算法可以高效处理非线性特征,提高流形学习的识别率。3.针对奇异值分解计算复杂度高的缺陷,利用量子算法的并行性,提出基于量子相位估计的奇异值求解算法。首先把待求解的矩阵变换成埃尔米特矩阵(Hermitian matrix)。通过埃尔米特矩阵找到与它有相同特征向量和经过还原后有相同特征值的酉矩阵,从而把奇异值求解问题转化成对酉矩阵特征值求解。然后用量子相位估计算法中第一寄存器的m个辅助比特,就可以对酉矩阵的一个特征值相位以至少s/n~2的成功概率精确到n比特(n<m)。最后在Mathematica上仿真结果表明,基于量子相位估计的奇异值求解算法的成功概率大,计算复杂度低。