本文分两部分。第一部分研究中子输运方程的数值方法，主要讨论输运方程离散纵标方法，积分方程方法和球谐近似方法中当前大家关注的研究课题；第二部分针对Burgers方程研究了格子Boltzmann方法的收敛性和稳定性问题。全文共七章。第一章为前言，简要介绍了中子输运方程和格子Boltzmann理论的研究概况以及本文所讨论的基本内容。第二章研究离散纵标方法。采用将角变量与空间变量的离散组合起来的方法，给出了常见的输运方程数值格式的误差阶。结果表明，对标量通量而言，这些数值方法的精度均达不到二阶。在第三章，对平板几何输运方程，将解的奇异部分分离出来，应用算子逼近理论构造了二阶精度的数值格式，并证明了解的存在唯一性。第四章研究球几何输运方程的数值解问题，也分为独立的两部分。前一部分利用调和分析方法精细地研究了解在球心附近的正则性和在边界附近的奇异性，将解的奇异部分分离出来，并且构造了二阶精度数值格式。后一部分考虑离散纵标方法中的内迭代问题，给出了步函数格式内迭代的收敛性证明。