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本研究涉及Finsler几何与李代数两部分内容。Finsler流形是黎曼流形的推广。Finsler几何是对其度量没有二次限制的Riemannian几何。(α,β)度量构成了一类很丰富的比较易于计算的Finsler度量,在Finsler几何中扮演了重要角色。旗曲率是Finsler几何中最重要的曲率,它是Riemann几何中截面曲率在Finsler几何中的延伸。S-曲率与旗曲率之间存在着微妙的互相影响,因此成为Finsler几何中最重要的非Riemann几何量之一。关于齐性Finsler流形的研究是首先从邓少强教授开始的。在本文中,我们首先推导出齐性Finsler空间上(α,β)度量通用的S-曲率公式,然后利用此公式推导出最简单的(α,β)度量-Randers度量的平均Berwald曲率公式。然后,通过观察具有迷向S-曲率的(α,β)度量的三阶非线性微分方程,我们证明了对任意常值,都存在以此常值为S-曲率的非Randers型的(α,β)度量。李代数g的双极化是g的两个具有共同线形函数f的极化g±,且满足g=g++g-。一个李代数若满足[g,[g,g]]=0和[g,g]≠0则称为二步幂零李代数。本文我们将讨论二步幂零李代数中的一种,海森堡代数的双极化,并构造四元数除环海森堡代数的一族双极化。
本研究主要内容包括：第一章,简要介绍Finsler几何,并对其发展成果稍作回顾；第二章,研究齐性空间上的不变(α,β)度量,给出了它的通用的S-曲率公式,和齐性空间上不变Randers度量的平均Berwald曲率公式；第三章,在一般的流形上讨论具有迷向S-曲率的Finsler度量的存在性,给出了有常S-曲率的非Randers型的Finsler度量的存在性；第四章,研究二步幂零李代数的双极化,给出了构造四元数除环海森堡代数的一族双极化的方案。