图像的构成一般是复杂多样的,包含着各种各样的结构特征,如平坦区域、斜坡区域、角状结构、流状结构、褶皱和纹理等,其中有很多结构特征与噪声一样属于图像中的高频信息,权衡噪声的去除与结构特征的保持是图像复原研究的重点。本文以具有复杂结构的图像作为研究对象,利用分数阶微积分、结构张量、微分几何方法等理论,首先研究了如何去表征图像不同的结构特征,然后在此基础上研究了新的基于变分与偏微分方程的图像复原框架,具有一定的理论意义和应用前景。本文的主要工作及贡献主要包含以下两个方面:（1）为了刻画更多的图像局部结构信息,构建了基于分数阶结构张量自适应的-Laplace正则化图像复原模型。首先结合结构张量能够准确区分图像的平坦、边缘和角状结构的优点以及分数阶导数非局部的性质,定义了分数阶平滑结构张量（FSST）矩阵。其次根据归一化FSST矩阵的特征值,构建了变动指数映射函数,该映射函数由一致性度量、边缘指示算子、拐点结构描述子三项构成,并根据图像的平均梯度和图像局部8方向上的梯度幅值对变动指数映射函数进行了多尺度描述。最后将映射函数以指数形式引入到变分正则项,实现模型的构建。实验结果表明,该模型能够对图像中的角状结构、褶皱和纹理等进行一定程度的保持,特别是小尺度的纹理细节,也能够对图像的平坦区域进行大尺度的平滑,有效提升复原图像的视觉效果。（2）针对传统的梯度和曲率算子在区分图像边缘、斜坡区域和孤立噪声等结构不够精确的问题,本文提出了一种新的图像结构指示算子即分数阶差分曲率,该算子不仅在区分上述结构时更加准确,且在处理精细纹理时也更具优势。首先,基于分数阶差分曲率和变动指数正则化模型,构建了基于分数阶差分曲率自适应的变动指数正则化图像复原模型。将分数阶差分曲率归一化,构造了一种单调递减函数作为模型正则项上的变动指数参数,而另一种单调递增函数作为模型数据保真项上的正则化参数,变动指数参数和正则化参数能够根据图像的边缘、斜坡和孤立噪声等结构自适应取值并控制扩散的方向和强度。实验结果表明,该模型处理后得到的图像不仅能够呈现更好的视觉效果,且能够有效地区分图像的斜坡区域、平坦区域和孤立噪声。其次,基于分数阶差分曲率和非线性扩散方程,构建了分数阶差分曲率驱动的各向异性扩散的图像超分辨率复原模型。该模型采用分数阶差分曲率为扩散系数,以Laplacian核为控制函数,是二阶与四阶各向异性扩散模型的一个自然插值。实验结果表明,该模型可以有效提升峰值信噪比和结构相似度的同时,更好地保持了图像的小尺度纹理,并能很好地抑制阶梯效应,使得处理后的图像看上去更加自然。