论文部分内容阅读
偏微分方程理论的最重要和最直接的目的之一就是去研究和探索方程解的存在问题.二十世纪五十年代初期出现的广义函数理论为方程“弱解”的研究提供了一个很好的平台和工具，它使得微分方程的理论发展产生了一个本质的飞跃，并且也由此引生了许多数学分支理论，比如微局部分析，拟微分算子理论，Fourier积分算子理论，超函数等等.超可微函数（ultra-differentiablefunctions)和超广义函数（ultra-distributions)亦是其中的一个重要的部分.从上个世纪的六十年代起，A.Beurling[1], G.Bj(o)rck[2],和 H.Komatsu[3-4]等学者利用加权函数给出了超广义函数的概念.八十年代后，J.Bonet, R.Mise, B.A.Taylor,R.W.Braun,和 D.Vogt等人又把这一概念根据需要扩展到了ω型的超广义函数上去[5-10,13,17],并且对于这些空间的各种性质和结构进行了深入地探讨,并且在其上展开了对于线性偏微分算子右逆存在性的研究[11,12,14,15],由此得到了许多十分重要的结果. 随着科学技术和社会经济的飞速发展，微分方程在数学，物理，工程技术和一些社会经济领域都有着日益广泛的应用.而作为其基本空间的ω-超可微函数和w-超广义函数，对于偏微分方程的理论研究有着十分重要的作用.而鉴于ω-超可微函数空间及w-超广义函数的空间构造的复杂性,其空间结构和元素的性质的研究依旧是当前学界的一个热点. 基于上述原因，本论文讨论了ω-超可微函数和w-超广义函数的空间结构问题.全文总共分为三章，主要内容如下： 引言中，对于超可微函数和超广义函数的研究背景和现状作了简单的介绍. 第二章给出了文中所涉及到的基本概念及其性质：较具体地介绍了权函数ω概念,利用加权函数ω定义了ω-试验函数空间D*，ω-超可微函数空间ε*以及ω-超广义函数空间和ε*,并且列出了它们的一些基本性质. 在第三章中，利用权函数ω定义了解析函数空间H(CN)的四种子空间A(ω)(CN,Ω),A{ω}(CN,Ω), A(ω)(Cn,Ω),A{ω}(CN,Ω)(Ω是 RN中的开凸集).然后，利用 Fourier-Laplace变换建立了ω-试验函数空间D*，ω-超广义函数空间ε*和D*与上述四个子空间中相应空间的拓扑和同构关系.基于此，本文得到了ω-超广义函数空间与V、的两个空间结构的表示.