汤姆森作为剑桥数学物理学派的核心人物,他的研究范围极其广泛,在地球物理、热学、电磁学、流体力学、数学、工程应用等方面都有显著成就,尤其是在1840s-1860s期间创新地提出并发展了解决物理问题的一些一般法则和数学方法。如,创新地提出了静电理论和热传导理论之间的同一性;通过几何方法建立电像法则;构建球调和函数等,对19世纪数学物理发展有重要贡献及影响。本文着重关注汤姆森的这几个工作,并对与之相关的重要环节的重要人物的工作进行梳理,追溯各种思想方法的源头。本文在原始文献和相关文献的基础上,以“为什么数学”为指导,通过文献分析和历史研究的方法,对这一历史过程中汤姆森的工作进行探析。与前人研究这段历史的不同,本文细致分析汤姆森各个工作的历史背景、形成原因、发展过程及影响,并系统考察汤姆森在静电理论和热传导理论之间建立数学等价关系的思想方法,电像法则,球调和函数三方面的创新工作的内在关系。取得的主要研究成果如下:1.深入分析了汤姆森将电学的数学理论类比到热传导理论的思想起源以及背景。探索出汤姆森为了寻找确定无穷固体内、外任一点处温度的简单方法,将拉普拉斯引力理论中的势函数引入到热传导理论,建立温度势函数,进而将不同物理现象用同一个数学模型统一。简要论述了拉普拉斯、泊松在引力理论及电学理论方面的工作,特别分析了,拉普拉斯、泊松未能完成统一的原因,以及泊松用电学数学理论未能解决确定电荷平衡分布条件的原因,及傅立叶在确定无穷固体中某一点温度时建立热传导方程的过程,这些都是汤姆森完成静电力分布与热运动的线型分布的类比的基础。2.通过细致研究汤姆森用数学模型统一描述不同物理现象的思想方法发现:汤姆森以傅立叶的热力学思想及数学技巧为指导,提出了“替换面定理”,研究了这一定理在汤姆森建立热学理论与电学理论之间的相似物理关系所起的作用。通过这个定理汤姆森将傅立叶提出的热是通过介质线型传播的思想对应到静电理论中,克服了当时静电力的超距作用说法,与法拉第提出的力线思想吻合。探析到汤姆森是第一位将法拉第思想数学化的人,为麦克斯韦建立场理论做了铺垫。3.挖掘出汤姆森1847年建立电像法的思想方法来源,背景问题及目的。揭示出汤姆森为了确定一定形状导体表面的感应电荷量及其产生的静电场,建立了电像法则。知道了“替换面”定理,格林1828年出版的《关于数学分析应用与电磁理论的一篇论文》中电荷密度的互易关系,及其父亲詹姆森·汤姆森的著作《欧几里得几何原本的前六卷、第十一卷及第十二卷的注解和插图》中的命题G等结果是1847年汤姆森建立电像法则的思想来源和方法基础。分析了在前人之基础上,汤姆森成功突破未能解决问题的原因。通过解读汤姆森1847年的演讲稿和1848年的主要文章,解析汤姆森电像法则逐步形成的过程。4.研究了汤姆森构造球调和函数目的和创新方法,引发汤姆森考虑球调和函数的具体问题,揭示了电像法中的性质对构造球调和函数所起的作用。梳理了勒让德、拉普拉斯关于球调和函数的前身即勒让德系数及拉普拉斯系数的早期工作,阐述了汤姆森如何学习拉普拉斯的工作,汤姆森的工作与前人的传承关系,及其构造球调和函数的过程,汤姆森的球调和函数解决了哪些类型的物理问题。