近年来,分数阶微分方程被广泛的应用于各科学领域:例如,力学(粘弹性和粘塑性理论)、生物化学(聚合物和蛋白质模型)、电气工程(超声波的传播)、医学(在机械负载下人体组织模型)等.又由于分数阶算子的非局部性质,获得分数阶微分方程的精确解变得更加的困难(有时甚至是不可能的),因此怎样高效的求解分数阶微分方程的数值算法成为一个紧迫的课题.本文由下述五章组成:第一章,简要回顾了分数阶算子的发展脉络及在不同学科领域的广泛应用.第二章,由于分数阶算子的非局部性质,分数阶导数的高阶离散格式相比一阶离散格式扮演着更加重要的作用.其显著的特征是:在保持相同的计算量条件下,前者极大的提高了算法的精度.本章的核心是:建立空间分数阶导数的一类四阶精度逼近格式,我们称之为加权和位移的Lubich差分(WSLD)算子.然后将其应用于求解一维和二维变系数的空间分数阶扩散方程,并给出了差分格式的无条件稳定性及收敛性证明,数值结果表明全局截断误差为O(τ2+h4).第三章,我们讨论分数阶物质积分和分数阶物质导数的性质,其中,Ds=??x+σ=D+σ,σ为常数或者与x无关的函数,如σ(y);m是不小于μ的最小整数.利用Fourier变换方法和分数阶线性多步法探讨分数阶物质微积分的性质并导出其离散格式.给出了差分格式的收敛性证明及数值例子表明全局截断误差为O(hp)(p=1,2,3,4,5).第四章,Feynman-Kac方程是用于描述扩散现象的泛函分布规律的一类偏微分方程.具有概率密度函数的布朗泛函满足Feynman-Kac方程,其对应于虚时间方向的Schr¨odinger方程.在研究非布朗泛函或者反常扩散现象时,导出了分数阶Feynman-Kac方程,其中引入了分数阶物质导数的定义.基于对分数阶物质导数离散性质(第三章)的分析,本章关注于建立向前和向后的分数阶Feynman-Kac方程的数值算法;由于分数阶物质导数是非局部的时空耦合的算子,相比于经典的分数阶导数,将带来新的挑战.我们用两种方法(有限差分和有限元法)离散空间导数.对向后的分数阶Feynman-Kac方程,给出了时间方向为一阶精度数值格式的稳定性和收敛性证明.对提供的所有算法,包括向前和向后的分数阶Feynman-Kac方程的一阶和高阶格式,数值例子表明了算法的有效性.第五章,具有时间分数阶物质导数和空间分数阶导数的方程描述的是L′evy飞行的泛函分布规律;基于在无界区域的连续时间随机行走模型导出的该方程,它的L′evy飞行的二阶矩是发散的.然而,在更多的实际问题中,物理区域是有界的及有关的观察是有限矩的.因此改进的方式是对L′evy飞行的L′evy测度作截断,它对应于回火的(tempered)空间分数阶导数.本章主要关注于建立改良方程的高阶算法,即,具有时间分数阶物质导数和空间分数阶回火导数的方程.更具体的说,本章的工作如下:1.在复空间中,证明了时间方向为一阶精度,空间方向为二阶精度算法的稳定性及收敛性,这些证明是必要的,因为我们还需要对所求方程的泛函分布作逆Fourier变换;2.我们进一步讨论了时间和空间方向的高精度格式,并构造了对分数阶的非齐次边值/初值条件的数值格式仍然保持高阶精度的处理技术;3.结合快速多重网格法求解具有Toeplitz矩阵结构的代数系统;4.对所求方程的数值解作逆Fourier变换并模拟了物理系统,数值结果进一步验证了算法的有效性.