本文主要研究Banach空间内求解非线性方程组f（x）=0的理论分析问题，特别是对Newton法，不精确Newton法（inexact Newton method），Newton-like方法的局部收敛性和半局部收敛性进行了详细的讨论，并给出新的结果。Newton法是用来求解非线性方程组常用的办法。因为在初始近似足够好的情形下，Newton序列能快速地收敛到方程的根，而且计算时每步计算只与前一步有关，误差不传播，是自校正的，在理论和实际应用上都是一种重要的方法，为很多数值工作者所青睐。而自Newton法提出以来，关于Newton法的理论分析一直都没停止过，涌现出大量的成果，主要包括Newton法的局部收敛性定理，特别是收敛球与唯一性球半径的研究；Newton法的半局部收敛定理，特别是Mysovskii型定理和Kantorovich型定理的发展；以及Newton法的全局收敛性定理等。其中，Kantorovich定理以其典型的条件，确切的结果成为研究Newton法半局部收敛性的典范。在对其条件结论的种种改进发展中，Wang（[13]）中给出的Newton法的半局部收敛性定理有很强的概括性，它将Kantorovich型条件和Smale型条件统一起来。这里我们给出这个结果新的应用，可以推出Argyros（[14]）中给出的含f的m阶导数信息的半局部收敛性定理（即定理2．1．3），并对其结果进行改进。定理0．1若f满足Argyros（[14]）定理的条件：（4）p₂（s）≤0，这里p₂（r）定义如下：这里s是p’₂（r）的一个根。那么f满足Wang（[13]）定理的条件：（Ⅱ）对任意的x∈S（x₀，δ）和x’∈S（x,δ-ρ（x））有（Ⅲ）令δ₀满足∫₀^δ₀L（u）du=1且b=∫₀^δ₀L（u）udu。假设（Ⅲ）t^*≤δ，这里t^*是h（t）较小的正根，由于Newton法每步都需要解一个线性方程组f’（x_k）△_k=-f（x_k）（通常称为Newton方程组），在未知量比较多的情况下，若用消去法等直接方法求其精确解，计算代价是十分高的。正是出于此原因，Dembo-Eisenstat-Steihaug（[59]）提出求Newton方程组的近似解（例如用迭代法求解该方程组），即称之为不精确Newton法（inexact Newton method）。我们在介绍了该方法已有的局部收敛性以及半局部收敛性结果后，给出f’在满足弱条件下不精确Newton法的Kantorovich型收敛性定理，并在余项r_k≡0的情况下得到关于Newton法的著名的半局部收敛性定理。定理0．2假设f：D（?）X→Y在S（x₀，δ）（?）D上Fréchet可微，x₀∈D为给定的初始近似且f’（x₀）^-1存在。令L（u）是[0，δ]上正的非降函数，ρ（x）=‖x-x₀‖，ρ（xx’）=ρ（x）+‖x’-x‖≤δ。假定f’（x₀）^-1f’满足关于L平均的内切球中心Lipschitz条件，即对0<η₀<1／2以及η_k<2η₀，余项r_k满足假定s₀≤b且这里σ_k：=α_k/（1-η_kα_k），v_k：=σ_k+1／σ_k。以及这里δ₀满足∫₀^δ₀L（u）du=1-2η₀，b=∫₀^δ₀uL（u）du／（1-η₀），t₀^*是φ₀（t）的最小正根，那么，不精确Newton序列{x_k}（k≥0）保留在S（x₀,t₀^*）内且收敛于f（x）=0的一个根x^*。在求解Newton方程组时，有时f’（x_k）的计算较为困难，为了降低计算代价，我们通常用可逆算子A（x_k）来逼近它，这就是Newton-like方法我们对Newton-like方法的局部收敛行为和半局部收敛性行为进行讨论，给出弱条件下Newton-like的半局部收敛性定理，并给出相应的推论。定理0．3令f：D（?）X→Y在S（x₀，r）（?）D上Fréchet可微，A（x）是f’（x）的一个近似。假定存在初始近似x₀∈S（x₀，r₀）（其中r₀∈[0，r]）使得A（x₀）非奇异，对任意x∈S（x₀，r）及任意x’∈S（x,r-ρ（x））满足假设下列条件成立：（Ⅰ）存在非负常数s₀，α，β以及0≤u₀<1，使得下面关系式成立：以及（Ⅱ）对某个a≥max{1，α+β}，下面式子均成立：（Ⅲ）S（x₀,t^*）（?）S（x₀r₀），这里t^*是φ（t）的最小正根，φ（t）定义如下：那么，Newton-like序列{x_k}（k≥0）保留在S（x₀,t^*）内，并收敛于f（x）=0的一个解x^*。