【摘 要】
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本文主要研究了来源于生物学领域的分数阶Keller-Segel(KS)方程组的适定性和来源于电流体动力学领域的不可压Navier-Stokes-Poisson-Nernst-Planck(NSPNP)方程组局部光滑解的
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本文主要研究了来源于生物学领域的分数阶Keller-Segel(KS)方程组的适定性和来源于电流体动力学领域的不可压Navier-Stokes-Poisson-Nernst-Planck(NSPNP)方程组局部光滑解的爆破问题.分数阶KS方程组是对生物学中经典的KS模型的推广,主要描述生物体细胞受生长环境中的化学物质刺激所产生的趋化现象.不可压NSPNP方程组由流体力学中的不可压Navier-Stokes(NS)方程和电动力学中的Poisson-NernstPlanck(PNP)方程强耦合而成,主要刻画等温不可压粘性流体中带电离子的漂移、扩散和对流现象.本文分为以下五个章节:第一章,绪论.主要介绍本文所研究问题的背景意义和国内外发展现状.同时,概述本文的主要工作.第二章,预备知识.主要介绍本文证明过程中需要具备的基础理论知识和相关引理,以便后文的推导.第三章,我们考虑了分数阶KS方程组的适定性问题.利用Bony仿积分解、压缩映像原理以及Besov空间的相关性质,针对分数次幂1<α?2的情形,建立了该方程组的局部适定性和小初值问题的整体适定性,推广了之前的结果(陈化等2019).特别地,我们还建立了α=1这一重要临界情形下该方程组在齐次Besov空间中小初值问题的整体适定性,该结论在文献(陈化等2019)中未被讨论,可以看作是在其基础上得到的新结果.第四章,我们考虑了不可压NSPNP方程组局部光滑解的爆破问题.利用LittlewoodPaley理论、能量不等式、插值不等式以及嵌入定理等,建立了该方程组在齐次TriebelLizorkin空间中与速度场水平分量相关的BKM型爆破准则,推广了之前的结果(Dong and Zhang 2010;Zhao and Bai 2016).该爆破准则指出,在研究解的爆破问题中,速度场水平分量比带电粒子密度函数更具重要性.第五章,我们总结了本文的主要研究结论,并对今后研究的问题做出了展望.
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