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本学位论文由三部分组成:Banach空间中多面体链的平坦范数，Banach空间子集的宽度及Banach空间子集的Hausdorff距离，研究讨论了Banach空间子集的一些几何量，得出了如下两个定理;
定理1 Hausdorff测度H在（Ck（(R)），||·||F)上关于平坦范数是一个下半连续函数，其中Ck（(R))表示Banach空间X的k维实系数平坦链在平坦范数||·||F下的完备化空间.
定理2(X，||·||)是n维Banach空间，B是X的球心在零向量的单位球，LWk(B)表示B的k维线性宽度，则有当n＜∞时，LW0(B)=LW1(B)=LW2(B)=…=LWn-1(B)=2.当n=∞时，LW0(B)=LW1(B)=LW2(B)=…=2.
本学位论文的主要主要内容为:
第一节为引言部分，主要介绍本文的研究背景，国内外的一些研究进展和本文的研究思路和结果.
第二节主要将(R)n的平坦范数推广成Bananch空间的平坦范数，介绍平坦链空间，得出了Hausdorff测度在(Ck((R))，平坦范数）上的下半连续性（定理2.2.1）.
第三节将线性宽度和Urysohn宽度推广到Banach空间，讨论了Banach空间子集的线性宽度在Hausdorff距离下的连续性（定理3.1.3）以及一致凸Banach空间紧子集的两种宽度的大小比较（定理3.1.4）.
第四节研究了Banach空间子集的平均宽度。由欧氏空间(R)n子集的平均宽度的性质，将其定义推广到Banach空间，并得出一些有关性质，得出了(R)n中Urysohn不等式的另外一种形式（推论4.1.2）.
第五节利用平坦范数自定义了一种新的宽度，并得出了一些性质和宽度体积不等式（定理5.1.3）.