本文对图在曲面上嵌入的分类进行了研究，即确定图在同一曲面上（不等价的）嵌入的数目。这一问题是拓扑图论中关于图的嵌入的研究中的重要问题。文中图均为连通图，曲面为无边缘的紧2-维流形，图G在曲面S上的一个嵌入是指存在一个1-1连续映射h：G→S，使得S-h（C）的每个连通分支均为一个2-胞腔，此种嵌入也被称为一般嵌入。图G在曲面S上的两个嵌入h：G→S和g：G→S被称为是等价的是指存在一个可定向保持同胚f：S→S使得foh=g．对这一问题的研究可追溯到J．L．Gross和M．L．Furst在上世纪八十年代对图的嵌入的不变量的研究，之后很多学者便围绕这一问题进行了研究及拓展。本研究分为八个部分： 第一章首先对图的曲面嵌入的相关概念及研究背景做了简要介绍。随后，介绍了曲面的多边形表示、代数表示、其上的拓扑运算及曲面分类，详细描述了本文中使用的刘彦佩教授提出的嵌入的联树模型。最后，对文章结构及各章内容进行了介绍。 第二章主要研究了轮图在小亏格曲面上嵌入的个数，得到了轮图在环面，双环面，射影平面，Klein瓶及亏格为3和4的不可定向曲面上嵌入的个数，同时也得出了双极图在亏格为1-4的不可定向曲面上嵌入的数目。 第三章研究了环束在射影平面和Klein瓶上嵌入的数目及结构，大大简化了已有结果。 第四章在轮图的基础上定义了一类更为复杂的三连通图，称之为伪轮图，给出了伪轮图在射影平面上三种嵌入，即一般嵌入，弱嵌入和强嵌入的个数。 第五章研究了两类梯图，即圈梯图和Mobius梯图在射影平面和Klein瓶上一般嵌入和强嵌入的个数。 第六章给出了一类四正则图的完全亏格分布，并且推导出已有结果的两类图的完全亏格多项式，本文中的结果形式更为简单。 第七章给出了以上一些结论与方法在地图计数方面的一些应用．推导出了单顶点地图在射影平面和Klein瓶上的（不同构的）个数，及（p，q，n）-双极地图在射影平面和Klein瓶上的（不同构的）个数。 第八章提出了一些有待于进一步研究的问题，如轮图的完全亏格分布问题，求环束的完全亏格多项式的显式等。