【摘 要】
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本文使用高阶逼近公式对分数阶导数进行了离散,并结合有限元方法对三类时间分数阶偏微分方程进行数值求解.第二章研究非线性分布阶亚扩散模型的基于时间两网格（TT-M）的1-Galerkin混合元方法.该算法相比1-Galerkin混合元方法能够提升计算效率,节省计算时间.时间方向采用快速的TT-M Crank-Nicolson格式逼近,其中时间分布阶导数采用FBN-结合复化梯形公式离散.空间方向采用1-
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本文使用高阶逼近公式对分数阶导数进行了离散,并结合有限元方法对三类时间分数阶偏微分方程进行数值求解.第二章研究非线性分布阶亚扩散模型的基于时间两网格（TT-M）的1-Galerkin混合元方法.该算法相比1-Galerkin混合元方法能够提升计算效率,节省计算时间.时间方向采用快速的TT-M Crank-Nicolson格式逼近,其中时间分布阶导数采用FBN-结合复化梯形公式离散.空间方向采用1-Galerkin混合方法逼近.证明数值格式解的存在唯一性,给出稳定性和先验误差估计的详细分析.通过带有光滑解的算例验证算法的有效性和快速算法的计算效率,进一步通过非光滑解算例的数值计算结果说明修正格式能够有效地解决由弱奇异导致的掉精度问题.第三章采用一类全离散混合有限元方法数值求解非线性分布阶四阶亚扩散模型,其中时间方向采用分数阶导数的高阶FBT-逼近公式逼近,并采用TT-M快速算法加速计算,空间方向采用一种混合元方法逼近.给出理论误差估计的详细分析,通过带有光滑或非光滑解的数值算例验证理论结果的正确性,说明快速算法的计算效率和校正格式在提升计算精度方面的有效性.第四章提出变阶分数阶导数的一类高阶逼近公式,证明其具有2阶逼近精度.基于该逼近公式,给出变分数阶Allen-Cahn模型全离散有限元格式,通过算例检验数值方法的可行性和高阶逼近公式的效果.
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