可计算性的发展从最初的原始递归函数到后来的部分递归函数，在可计算性的中心问题由可计算函数转向不可计算函数后，引入了可计算枚举的概念，包括可计算枚举集以及可计算枚举度． 可计算性的研究使人们把一些长期未解决的问题化为不可计算的可计算可枚举集，从而严格证明了不存在判定这些问题的算法．这些问题称为不可判定的。 Emil Leon Post首先提出了不可解度的概念，继而又给出了相对可计算性的构造方法．这就使人们开始对不可解度进行比较，并研究不可解度的代数结构． Stephen Cole Kleene和Emil Leon Posts的文章：“递归不可解度的上半格”是关于数学基础的一篇重要文章．在文中，他们探究了Post在他的一篇概要：“递归不可解度”中最先提出的上半格这种重要的代数结构的自然性质． 在不可解性的研究中，极小度是一个很重要的概念．通过构造一个极小度，刻画了(D)可数理想的结构，这里的(D)是指所有的图灵度组成的一个偏序集。 一个度称为极小度，是指在φ和它之间没有其他的度存在．Clifford Spec-tor首先在“递归不可解性中的度”中构造出了一个极小度，这个极小度＜φ”．这篇论文成功地解决了Kleene和Post的文章中提出许多关于不可解度的半格结构中的问题． 同时，另外一个问题自然地产生了：在其它的条件下，极小度是否存在? 不久，Gerald E．Sacks在专著《不可解度》(Annals of Mathematics Studies 55，Princeton University Press)中成功地用＜φ，条件取代了＜φ”，即，使用优先方法证明了φ，下极小度的存在性．他的构造通过构造了一列φ下可以递归计算的字符串来定义出了一个极小度的集合B． 随后，Joseph R．Shoenfield发表了一篇名为“A theorem on minimaldegrees”的文章，文中Shoenfield重铸了Sacks的构造方法，将树的概念引入证明过程，从而简化了Sacks的证明． 在那篇文章中，他还证明了给定任何一个介于φ和φ之间的度，都可以找到一个φ下的度，它们两者是不可比较大小的。从而，作为Cooper定理的一个推论，这第一次指出了在φ下的度是非常之多的。 C．E．M．Yates在他的文章“不可解度的初始段Ⅱ：极小度”，(The Journal of Symbolic Logic Vo1.35，No.2，243-266)中提出了一种构造性的方法，证明了：给定任何一个不可计算的可计算枚举度a，都存在一个小于a的极小度。那种构造方法特别适用于关于可计算枚举度和极小度的证明，而且还有其它很多用处． 而经典的可计算枚举集(度)只是n-可计算枚举集(度)的一个特例(取n=1的情形)，而相对于n-可计算枚举集(度)，还有一个更一般化的定义：ω—可计算枚举集(度)． 本文先是定义了一种建立在序数α和可计算的良序≤P基础上的α(P)—可计算枚举集(度)，我们可以把它视为ω—可计算枚举集(度)的一种变形．在此基础上研究了它的一些特殊的性质． 由于定义α(P)—可计算枚举集时需要用到序数的奇偶性判定，它们的性质与奇偶性密切相关，所以我们首先证明了在这种良序的条件保证下，一个序数的奇偶性是可以判定的。 然后，我们用著名的Shoenfield极限定理证明：对于任何的α(P)—可计算枚举集，它的度都是小于φ的。进而，我们有：所有的α(P)—可计算枚举集是可以枚举的。 同时，我们得到了可计算函数和α(P)—可计算枚举集的关系：每一个可计算函数，都是α(P)—可计算枚举集的特征函数(对任何的α和任何的≤P都成立)． 本文通过证明了上述一系列的引理和结论，参考Sacks的构造极小度的方法，论证了在φ条件下存在一个极小度的集合，而且它不是α(P)—可计算枚举集合．进而证明了所有和它图灵等价的集合都不是α(P)—可计算枚举的，即这个极小度不是α(P)—可计算枚举的。