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本文包括三章，第一章为绪论，第二章利用山路定理，喷泉定理研究Kirchhoff程在有界区域上的解的存在性与多解性问题，第三章利用喷泉定理的变形形式讨论了Kirchhoff方程在R3上的多解性问题. 下面对本文的主要工作介绍如下: 对于Kirchhoff方程Dirichlet边值问题:｛-(a+b∫Ω|▽u|2dx)△u=f(x,u),x∈Ω,(1)u=0， x∈δΩ，其中Ω为RN中的有界光滑区域，N=1，2，3，a，b＞0，f∈C((Ω)×R)满足下列条件: (F0)存在q∈(4，2*)，C＞0，使得|f(x，t)|≤C(|t|q-1+1)，(x，t)∈(Ω)×R，其中2*=｛6， N=3，∞，N=1，2; (F1) f(x，t)＞0，t＞0，x∈(Ω);f(x，t)=0，t≤0，x∈(Ω); (F2)存在μ＞4，R＞0，使得0＜μF(x，t)≤f(x，t)t，x∈(Ω)，|t|＞R; (F3)存在δ＞0，使得F(x，t)≤a/2λ1t2，x∈(Ω)，|t|＜δ，其中λ1是(-△，H10(Ω))的第一特征值; (F4) limt→+∞f(x，t)/t3=p(x)，p(x)＞b‖ψ1‖4/|ψ1|44，对几乎处处的x∈Ω一致成立，其中ψ1是对应于λ1的特征函数; (F5) lim|t|→+∞f(x，t)/t3=q(x)，q(x)＞16dk，对几乎处处的x∈Ω一致成立，其中dk＞0为常数; (F6) f(x，-t)=-f(x，t)，（x，t)∈(Ω)×R. 我们得到下面的结论: 定理2.1.1若f满足(F0)-(F4)，则问题(1)至少有一个正解. 定理2.1.2若f满足(F0)，(F2)，(F5)，(F6)，则问题(1)有无穷多个解. 对于下面Schr(o)dinger-Kirchhoff型微分方程:-（a+b∫R3|▽u|2dx）△u+V(x)u=f（x，u），x∈R3，(2)其中a＞0，b＞0以及f∈C(R3×R，R). 为了得到结论，我们给出下面的假设: (V)V∈C（R3，R），满足infx∈R3 V(x)≥a1＞0，且对于任意的M＞0，m({x∈R3:V(x)≤M})＜+∞，其中a1是常数，m({x∈R3:V(x)≤M})表示R3中的Lebesgue测度; (f1)|f(x,t)|≤c（|t|p-1+1），(x，t)∈R3×R，其中p∈(4，2*)，c是正常数，2*=6是3维空间的Sobolev嵌入的临界指数; (f2) lim|t|→0 f(x，t)/|t|=0，对几乎处处的x∈R3一致成立; (f3) lim|t|→∞ F(x，t)/t4=+∞，对几乎处处的x∈R3一致成立; (f4)存在μ＞4，使得0＜μF(x，t)≤tf(x，t)，对于任意的x∈R3，|t|≥1; (f5) f(x,t)=-f(x,-t)，(x,t)∈R3×R. 定理3.1.1假设V成立，并且f满足(f1)-(f5)，问题(2)有无穷多个解uk，并且当k→∞时，I（uk）→+∞.