【摘 要】
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设A(?)N+={1,2,3,…}.Lovasz猜想:如果(?)|A∩[1,N]|/N]>0,则A-A={a-a’:a,a’∈A}中必含有非零自然数的平方.此处,|A∩[1,N]|表示A∩[1,N]的基数.为了证明Lovasz的猜想,1978
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设A(?)N+={1,2,3,…}.Lovasz猜想:如果(?)|A∩[1,N]|/N]>0,则A-A={a-a’:a,a’∈A}中必含有非零自然数的平方.此处,|A∩[1,N]|表示A∩[1,N]的基数.为了证明Lovasz的猜想,1978年,Sarkozy给出了下面的结果:设N∈N且N≥ 2,A(?)N∩[1,N].如果对于(?)n ∈N+都有n2(?)A-A,则|A|≤C1N((1n1n N)2/1n N)1/3,此处C1>0是一个绝对常数.本文旨在于研究上面结果在函数域中的相似品.设g ∈ N+,Fq为q元有限域.设Fq的特征为p.A=Fq[t]为Fg上的多项式环,K=Fq(t)为其商域.对于N∈N+,定义GN={m∈A:degm2,并且对于任给m ∈A\{0}都有m2(?)A-A,则|A|≤C4qN(1n N)7/N,此处C4>0仅与g有关.本文将Le与Liu的结果推广如下:设k,N∈N且k,N≥ 2,A(?)GN.如果p(?)k,并且对于任给m ∈A\{0}都有mk(?)A-A,则此处C5>0仅与k,q有关|A|≤C5qN(1n N/N)1/k-1,易见p(?)2(?)p>2;当N≥ 3时1n N<(1n N)7.因此,在k=2的特殊情形,在不计常数C5与C4差别的情况下,上面的定理还改进了Le与Liu的结果.
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