【摘 要】
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本文采用机器学习方法研究统计物理模型的相变,其中主要使用主成分分析Principal Component Analysis算法及其变种核主成分分析Kernel Principal Component Analysis和扩散映射Diifusion-Map三种算法等降维算法和聚类指标Calinski-Harabaz指标来寻找物理模型的相变点。首先使用降维算法对有着庞大维度的物理模型数据进行降维,之后使
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本文采用机器学习方法研究统计物理模型的相变,其中主要使用主成分分析Principal Component Analysis算法及其变种核主成分分析Kernel Principal Component Analysis和扩散映射Diifusion-Map三种算法等降维算法和聚类指标Calinski-Harabaz指标来寻找物理模型的相变点。首先使用降维算法对有着庞大维度的物理模型数据进行降维,之后使用K-Means聚类算法与聚类评估指标Calinski-Harabaz进行分类和评估聚类情况,通过评估结果找出不同相之间的相变边界。近些年来,机器学习方法被应用于预测物质相变的各个状态以及它们之间的转换,但在拓扑相变（例如在经典XY模型）中,其相变点很难通过使用无监督学习（例如PCA）来获得。2019年,哈佛大学的研究者发表在《Nature Physics》上的文章使用了降维算法中的扩散映射算法来预测拓扑相变,并能够确定经典XY模型的Berezinski-Kosterlitz-Thouless相变,方法是通过不同簇平均距离和簇内离散距离的交点。但由于拓扑约束,如果或没有太大变化,就不容易找到交点。本文我们使用的Calinski-Harabaz指标来确定临界点,这种指标与/的比值相似,但是Calinski-Harabaz指标会在相变点位置达到峰值,从而帮我们确定相变点。我们在几个统计物理模型中检验了Calinski-Harabaz指标,包括那些包含Berezinski-Kosterlitz-Thouless相变的模型。对于伊辛模型,Calinski-Harabaz指标或其分量的极值与比热极值位置一致。对于正方形和六角晶格上的经典XY模型,Calinski-Harabaz指标结果显示了在超参数/0的范围内峰值的收敛。我们还研究了q=2和q=8的广义XY模型,并分别用1/2涡旋或1/8涡旋研究了相变,可以获得全局相图。本文主要研究内容为:第一章,介绍了机器学习研究物理相变的背景、意义以及本文的研究动机,所使用物理模型数据和拓扑相变,以及具体的研究内容。第二章,阐述了文中使用到的降维算法,分别是主成分分析算法、核主成分分析和扩散映射,以及扩散映射超参数的确定方式、三种降维算法的应用范围。第三章,引进了聚类指标中的Calinski-Harabaz指标,运用提到的三种降维对数据进行降维,配合Calinski-Harabaz指标预测相变点。实验分别给出了不同聚类指标下哈佛大学的文章和我们方法的对比结果。第四章,通过实验验证Calinski-Harabaz指标寻找相变点的准确性,数据使用了伊辛模型、正方形晶格和六角形晶格的经典XY模型、q=2和q=8的广义XY模型。第五章,总结与展望。附录,介绍了文章中XY模型的拓扑结构、核函数、常用聚类指标的计算公式和利用伊辛模型数据时扩散映射与核主成分分析的结果对比。
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