顶点代数是二十世纪末发展起来的一类新的数学研究对象，它与仿射Kac—Moody代数的表示理论以及物理中的共形场理论有紧密的联系([Bol，MS])． 格顶点代数是最重要、最基本的顶点代数之一． S．Berman、C．Dong和S．Tan研究了与 toroidal李代数的表示理论有关的所谓“半格”顶点代数([BDT])．设L是—个偶格，VL是相应于L的格顶点代数．作为向量空间，VL是对称代数S(H()ct—1C[t—1])和群代数C[L]的张量积，其中H=C()zL．[BDT]中考虑的格L由ci，di(i=1，…，v)张成，并有一个Z—值双线性型(·，·)使得：(ci，cj)=(di，dj)=0，(ci，dj)=δi，j· S．Berman、 C．Dong和S．Tan将半格顶点代数定义为 V：=S(H()ct—1C[t—1])()cC[LC]， 其中LC=∑vi=1Zci．半格顶点代数V是格顶点代数VL的一个顶点子代数。 S．Berman、C．Dong和S．Tan定义了一个结合代数AA由eα和di生成，满足生成关系： eO=1， eα+β=eαeβ，dieα—eαdi=(di，α)eα，didj=djdi， 其中α，β∈LC，1≤ i，j≤v．更重要的是，他们证明了结合代数A的(不可约)表示与半格顶点代数V的(不可约)表示之间有一个一一对应．他们可以由A的一个(不可约)表示构造出V的一个(不可约)表示，也可以由V的一个(不可约)表示得到A的一个(不可约)表示．这就意味着，为结合代数A寻找更多表示的工作是很有意义的． 在本论文的第一章，我们首先定义了一个结合代数AQ．设Q=(qij)是一个元素都是非零复数的v×v复矩阵，并且满足条件： qii=1，qij=q—1ji，(1≤i，j≤v)．结合代数 AQ由eα，di生成，满足生成关系：eO=1， eαeβ=(∏1≤i＜j≤v qmjniji)eα+β，dieα—eαdi=(di，α)eα，didj=djdi，其中α=∑vi=1mici，β=∑vi=1nici∈LC，1≤i，j≤v．当Q的所有元素都为1时，结合代数AQ就是[BDT]中定义的结合代数A．接下来，我们构造了两类不可约AQ—模： V(a1…，av—1，b)和V(a)．另外，我们也研究了这两类模的自同构群． A1型扩张仿射李代数的分类依赖于从欧氏空间中的半格构造的TKK代数．从欧氏空间的一个半格S出发，可以定义一个Jordan代数J(S)，然后利用所谓的Tits—Kantor—Koecher构造法可以得到一个TKK代数，进而得到一个A1型的扩张仿射李代数．BAllison、NAzam和S．Berman等人证明了，欧氏空间Rv中半格的相似等价类与nullity为v的A1型扩张仿射根系的同构等价类一一对应([AABGP])．在欧氏空间R2中，只有两个不相似的半格S和S’，其中S是格而S’是非格半格．Jordan代数J(S)和J(S’)都有一个自然的Z2—分次．这个分次自然地诱导出TKK代数G(J(S))和BabyTKK代数G(J(S’))上的一个Z2—分次．在本论文的第二章，我们分别研究了TKK代数G(J(S))和Baby TKK代数G(J(S’))的Z2—分次自同构群．