样条逼近是计算机辅助几何设计（CAGD）和逆向工程等领域中不可或缺的技术。随着几何造型技术和等几何分析的迅猛发展,工业产品中的唯一标准表示—非均匀有理B样条（NURBS）已然不能满足当下的需求。因此,可局部加细样条应运而生。可局部加细样条具有灵活的造型能力和适合于分析的性质,广泛应用于几何建模和工程等领域。目前,对于B样条中全局和局部逼近方法的研究已经较为成熟,但是对于可局部加细样条的局部逼近方法的研究尚不完善,如何为可局部加细样条设计高效、鲁棒地逼近方法对于其在几何造型和等几何分析中的应用十分重要。特别地,本论文研究了 B样条、AST样条（适合于分析的T样条）、PHT样条（层次T网格上多项式样条）逼近中的一些性质和方法,具体分为以下三个部分:第一部分,本论文给出了初始B样条逼近中的单峰性证明,为单峰性的实际应用提供了理论保障。B样条是CAGD中最为常用的曲线曲面表示,也是当前大部分计算机辅助设计（CAD）系统的底层核心表示之一。B样条逼近中节点计算一直是计算机辅助设计中一个极具挑战性的问题。合适的节点不仅能提升逼近质量还能减少冗余节点的产生。近些年,学者们发现离散数据点的初始三次B样条逼近的单峰性对于节点计算特别是节点个数的确定起着关键作用,这里B样条逼近的单峰性是指数据点的初始逼近在初始节点上的左右三阶导数的跳跃值存在局部最大值。本论文在第三章中证明了如果数据点是从三次B样条数据采样得到,以及初始节点是均匀节点且足够稠密,那么在包含被采样三次B样条的真实节点的初始节点区间的端点上,初始B样条逼近呈现单峰性。第二部分,本论文给出了 AST样条局部逼近方法,首次提出任意次数AST样条的拟插值方法并且证明了 AST样条拟插值的最优逼近性质。AST样条具有灵活的造型能力且其基函数具有线性无关性、单位剖分性等适合于分析的性质,因此AST样条广泛应用于几何建模和等几何分析中。目前关于AST样条的逼近方法大多数采用的是最小二乘或样条插值的全局逼近方法,不仅求解十分耗时,而且数值稳定性不高,特别是对于大规模数据的逼近表现尤为突出。拟插值是一种简单、高效的局部逼近方法,目前已发展成为样条领域十分重要的逼近方法。本论文在第四章提出了一种构造简单的AST拟插值格式并证明了拟插值的最优逼近性质。该拟插值格式是B样条拟插值格式的局部张量积推广,无需额外计算。这一局部逼近算子将使得AST样条在几何建模和等几何分析应用中更具吸引力。第三部分,本论文给出了两种PHT样条逼近中基于支撑网格定义的基函数满足单位剖分性的权重计算方法,进一步加强了此种定义方式的PHT样条逼近性质和几何造型能力。PHT样条是另一种区别于T样条的可局部加细样条。其非常高效的细分算法以及内在的好的性质使得它同样在几何造型和等几何分析中被广泛地应用。然而原始PHT样条会出现“衰减现象”。故学者们提出了基于支撑网格的PHT样条基函数构造方法,有效地避免了衰减现象并提升了在实际应用中的效果。不过PHT样条基顶点的支撑网格可能互相重叠,会丢失设计和分析中非常重要的单位剖分性。因此,基于支撑网格定义方式,本论文在第五章提出了两种PHT样条基函数满足单位剖分性的权重计算方法。一方面,借助PHT样条几何信息算子,将PHT样条满足单位剖分的基函数权重计算任务转化为求解经典Hermite插值问题,得到了 PHT样条基函数权重计算公式。另一方面,根据B样条节点插入算法以及细分方法,推导出了 PHT样条基函数满足单位剖分性的细分模板。