不定方程不仅自身发展活跃,而且全面应用于离散数学的其它各个领域。例如在数论、代数、组合数学等离散数学中讨论各种有限结构的数学分支,有许多需要解决而有相当困难的问题的解决都有可能要归结到某些不定方程的求解。因此它对于人们学习研究和解决实际问题有重要的指导作用。关于不定方程x³±2³ⁿ =3Dy² ,其中D > 0,D∈Z,且不被3整除,无平因子,已有不少的研究。当D不含6 k +1形状的素数因子时,全部整数解已经解决。但是当D含有6 k +1形状的素数因子,且不被3整除时,方程的求解就比较困难了。而当n =2,方程变为x³±64 =3Dy²,当3 D <100,并且D不含平方因子,不能被3整除,含有6 k +1形状的素数因子时,当D =7,13,19,31时它们的解还没有解决。本文主要利用递归数列,同余式,唯一分解,Maple程序,平方剩余以及Pell方程的解的性质等方法,主要证明了四组不定方程x³±64 =3Dy²（ D =7,13,19,31）的所有整数解,以及讨论了不定方程x³±2³ⁿ =3Dy²无非平凡整数解的充分条件。本文分四章来说明:第一章介绍关于不定方程x³±2³ⁿ =3Dy²的国内外研究现状;第二章给出全文所需的预备知识,对Pell方程的解的性质,递归数列,同余式以及唯一分解定理都有简单的介绍;第三章是全文的重点,分四节具体证明了不定方程x³±64 =3Dy²（ D =7,13,19,31）的全部整数解。同时,第五节对于不定方程x³±2³ⁿ =3Dy²无非平凡的整数解的充分条件做继续的讨论。第四章将对全文作一个总结,并对未来可能的发展方向提出一些有待研究的问题。本文的主要结果在第三章。