众所周知,Gauss超几何函数F(a,b;c;x)、完全椭圆积分K(r)和ε(r)、广义椭圆积分Ka(r)和εa(r)的都是非常重要的特殊函数,它们在几何函数论、拟共形理论、数论、物理学等其他学科、工程技术等领域中发挥着重要的作用。而研究Gauss超几何函数F(a,b;c;x)的性质又离不开对Γ-函数Γ(x)、Ψ-函数φ(x)、Beta函数B(x,y)及Ramanujan常数R(a,b)性质的研究。广义椭圆积分Ka(r)作为最重要的特殊函数之一,是Gauss超几何函数F(a,b;c;x)的重要特例。一方面,它与将上半平面变换到平行四边形的Schwarz-Christoffel变换有关;另一方面,它是完全椭圆积分的推广,即当a =1/2时,Ka(r)退化为K(r)。因此,若能将完全椭圆积分的某些性质推广到广义椭圆积分,有利于更好地促进几何函数论、拟共形理论、广义Ramanujan模方程等相关领域的发展。广义椭圆积分Ka(r)与广义模方程中的广义Grotzsch环函数μa(r)、广义Hubner上界函数ma(r)、广义Hersch-Pfluger偏差函数φK(a,r)、广义Agard偏差函数ηK(a,t)和广义线性偏差函数λ(a,K)有着密切的联系。而当a = 1/2时,μa(r)与这些广义偏差函数即为拟共形理论中极为重要的拟共形特殊函数μ(r)、m(r)、φ(r)、ηK(t)和λ(K),这些函数不仅对拟共形映射的偏差性质的研究是必不可少的,而且在数论等其它数学领域中有许多应用[1,41,53,56]。此外,ηK(t)和λ(K)在拟共形映射的极值问题和拟正则映射以及拟对称函数等方面的研究中发挥着重要作用[1,50,61]。因此,对于广义椭圆积分Ka(r)和广义偏差函数φK(a,r)、ηK(a,t)、λ(a,K)的研究,既具有独立的意义,又可促进拟共形理论、几何函数论和广义Ramanujan模方程等领域的发展。因此深入研究广义椭圆积分Ka(r)及其相关的R(a,b)、B(x,y)等特殊函数的性质具有重要的理论意义和应用价值。环在拟共形理论的研究过程中是必不可少的,尤其是Grotzsch环与Teichmuiller环,而n维空间中Grotzsch环函数Mn(r)(当n = 2时,M2(r)= μ(r))在n-维拟共形理论中起着非常重要的作用。对于平面Grotzsch环函数μ(r)的研究已很深入,但由于缺少行之有效的研究工具,对于Mn(r)(n≤ 3)的已知结论相对较少,而且较粗糙。本文的主要目的是:建立Beta函数不同类型的级数,研究R(a,b)与B(a,b)的关系;研究揭示第一类广义椭圆积分Ka(r)与一些初等函数组合的分析性质,并据此获得精确不等式;较大程度地改进关于M(r)的一个不等式。本文由以下四章构成:第一章,主要介绍本文的研究背景,并引入本文涉及的一些概念、记号和相关的部分已有成果。第二章,建立了 Beta函数B(x,y)的不同类型的级数展开,并揭示B(a,b)与R(a,b)之间的联系。第三章,研究第一类广义椭圆积分Ka(r)与一些初等函数组合的单调性和凹凸性,并由此得到精确不等式。第四章,研究高维拟共形理论中Grotzsch环函数Mn(r)=modRG,n(1/r)(0<r<1)的性质,纠正G.D.Anderson,M.K.Vamanamurthy 及 M.Vuorinen 的著作 "Conformal Invariants Inequalities and Quasiconformal Maps"中的一个错误,并较大程度地改进函数f(r)=h(r)+ h(r’)的上界估计,其中h(r)= r’2Mn(r)M?(r’)n-1。