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本论文由三个主要部分组成。
第一部分是预备知识。
先介绍一些基本概念.包括熵数与特征值,lp空间与niebel在Rn上定义的B型空间与F型空间,并阐述了熵数与特征值之间的关系.从而,我们可以利用熵数工具来进行算子特征值估计.所用到的主要定理是:
定理1.2.1[80]设T为紧算子,则对任意k∈N,有|λk(T)|≤(√2)ek(T)。
然后,介绍局部平均,原子分解与亚原子分解.本论文中用到了B型空间与F型空间上的等价拟范数以及相应空间中分布的等价表示:
定理1.5.2[83]设s∈R,0＜p≤∞,0＜q≤∞,N∈N,且2N＞maX(s,σp)。
则‖h0(1,f)|Lp(Rn)‖1(∞∑j=12jsq‖hN(2-j,f),(·)|Lp(Rn)‖q)1/q与‖h0(1,f)|Lp(Rm)‖+(∫10t-sq‖hN(t,f)(·)|Lp(Rn)‖qdt/t)1/q等价于Bspq(Rn)上的拟范数。
定理1.7.1[83]设0＜p≤∞,0＜q≤∞,s＞σp.则存在满足以下性质的数k＞0:若r＞k,则g∈S(Rn)属于空间Bspq(Rn),当且仅当g可以表示为级数9:∑∑∑λβvm(βqu)vm,在S(Rn)上收敛,并且supβ∈Nno2rαβ‖λβ|bpq‖＜∞。
第二部分介绍了Triebel的分形鼓理论.Triebel分别给出了三种类型的分形集,即各向同性d集、各向异性d集与非各向同性d集。当薄膜边界固定,质量集中在相应分形集上时,则薄膜振动的频谱问题可以归结为分形微分算子T=(-△)-1。ΟtrГ的特征值问题,其中Г为各向同性d集、各向异性d集或非各向同性d集,从而得到相应的各向同性分形鼓问题,各向异性分形鼓问题与非各向同性分形鼓问题。Tiebel在1997年给出了相应分形鼓的特征值估计。(I)当Г为各向同性d集时,λk(T)≤ck-1,k∈N;(ii)当Г为各向异性d集时,λk(T)≤ck-d/d+2d,k∈N；(iii)当Г为非各向同性d集时,λk(T)≤ck-ρ,k∈N,这里ρ=2d-1-a/2d+1+5a,其中λk(T)为分形微分算子T的特征值。
第三部分,我们从两个方面对Triebel的非各向同性分形鼓上的结果进行了改进。
首先,我们引入各项异性指标(各项异性指标α=(α1,α2)由定义3.1.1给出),定义了各向异性B型空间,并得到相应的局部平均以及亚原子分解定理。
其次,我们改进了非各向同性d集,将生成分形集的迭代系统中的椭圆,使其横向或者纵向平行于坐标轴.从而使得生成的分形集更加正则化。
通过空间与分形集两方面的改进,利用算子分解的技巧,我们得到了非各向同性分形鼓上更加精细的结果。
我们的主要结论有:
定理3.3.1设Г为正则非各向同性d集,0＜d＜2,α为各向异性指标.若1＜p≤∞,1/p+1/p=1,则包含关系Lp(Г)∈B-(5/2-d)/p,apx(R2)在(2.2.5)意义下成立。
定理3.3.2设Г为正则非各向同性d集,0＜d＜2,α为各向异性指标.若1＜p≤∞,则成立trГBp1(5/2-d)/P,α(R2)∈Lp(Г)。
定理3.3.3设Г为正则非各向同性d集,0＜d＜2,α为各向异性指标.若0＜p1≤∞,0＜p2≤∞,0＜q≤∞以及s∈R,则迹算子tr:Bp1qs+5/2-d/p1,α(R2)→Lp2(Г)是紧算子,并且存在常数c＞0,使得对所有的k∈N,都有ek(trГ)≤ck-(s+1/p1-1/p2)/(1/2+d)。
定理3.3.4设Г∈Ω为对应于各向异性指标α=(α1,α2)的正则非各向同性d集,1/2＜d＜2.迹算子trГ与算子trГ如(2.2.1)定义.则算子T=(-△)-1ΟtrГ在W1aα(R2)中是紧的,非负的,自伴的,且其零空间为N(T)={f∈W12,α(R2):trГf=0}。进而,存在常数C＞0,使得算子T的正特征值λk(T),按照计重数排序满足以下估计式λk(T)≤ck-2d-1/2d+1,k∈N。