连通图G中的任意两点u和v，一条u-v测地线是指u，v两点间的最短路。令Lu，v表示位于u-v测地线上所有点的集合。对于子集S，令I(S)=Uu，v∈I(u，v)，如果I(S)=V(G)，则我们称S是G的测地集。把图G测地集的最小基数叫做G的测地数。同样我们可以相对应的定义有向图D的相关概念.对图G的所有边给定一个方向后的图称为图G的定向图，我们称S(G)={g(D)：D是图G的定向图}为图G测地数的谱。g+(G)=maxS(G)为图G的上测地数。本文讨论了无向图以及有向图的测地数，主要内容如下：　　 在第一章中，我们简单介绍了图测地集研究的背景与已有的一些结果。　　 在第二章中，我们研究上测地数下界的一个猜想：如果图G是一个直径为d最小度为δ的非平凡的连通图，则有g+(G)≥d+δ。证明了这个猜想对无三圈图，△(G)≤3的图以及单位区间图是正确的。　　 在第三章中，我们先给出了二部图与完全图笛卡尔积上测地数的下界。并且研究图上测地数与测地数大小关系的一个猜想：对所有的图都有g+(G)≥g(G)。证明了树与完全图的笛卡尔积同时满足g+(G)≥g(G)与g+(G)≥d+△。还讨论了树与完全图的笛卡尔积的测地数与d+△的关系。　　 在第四章，我们给出了块图的测地数，并且研究了块图上测地数的范围。