作为当代物理的两大基石之一，量子力学已成为许多自然科学领域内的基本理论工具.出于实际应用的需要，人们发展了不同的描述量子现象的数学模型：对于非相对论情形，有Schrodinger波函数，密度算子，Green函数，Wigner函数以及路径积分等；在相对论情形，有Dirac方程和Klein-Gordon方程等.理论的创新总是伴随着技术的进步.随着研究对象复杂度的提高和开放度的增大，大部分理论模型难于找到解析解，使得数值模拟已成为研究这些模型的主要手段.实际上，计算机技术的发展已经改变了我们认识世界的视角，计算已经成为第三大科学手段，它和理论与实验并驾齐驱.正是在这样的背景下，本文讨论了量子物理中几类数学模型的数值方法以及它们在纳米器件模拟和非线性孤波碰撞中的应用。　　 我们主要关心SchrSdinger方程及其Green函数，Wigner方程和Dirac方程；使用的数值方法包括打靶法，谱元法，区域分解方法（Schwarz迭代），有限差分，有限元，Runge-Kutta间断Galerkin方法以及快速Fourier变换等.本文的主要创新工作可以分成如下四个方面。　　 （a）对具有分片常数系数的SchrSdinger方程的Green函数设计了一类特征振荡谱元法，其中计算的主要困难在于如何处理二维广义Diracσ-函数.我们的方法是，作变量分裂之后，通过在某一个坐标方向使用一维Diracσ-函数的特征展开将问题转化为求解展开系数满足的微分方程.具体来说，这里的特征振荡谱元法可以分成三步：第一步，在每个子区域内利用Pruess方法数值求解特征值问题；第二步，在每个子区域内利用特征函数对Green函数作展开，借助于Diracσ-函数的特征展开和特征函数的正交性得到展开系数满足的常微分方程；第三步，利用直接法或者迭代法来确定展开系数.这里，直接法是利用函数的连续条件直接在界面处匹配求解；而迭代法为Schwarz迭代方法，其界面条件为Robin条件或者Engquist-Majda条件.直接法适合规模较小的问题，而迭代法适用于大规模问题以及并行计算.我们的方法可以处理弯曲的界面情形.另外，我们还对基于Schwarz迭代的特征振荡谱元法的收敛性进行了讨论和分析。　　 （b）对于一般形状的区域和边界，借助定义在导线内的辅助Green函数和Green函数是点源激发场的性质，我们给出了和导线相连的量子器件边界的处理公式，进而在统一框架下得到了差分离散和有限元离散的数值边界条件，换句话说，在统一框架下我们给出了不同离散格式的自能形式，从数学上更清晰地展示了自能的含义.这里的主要难点在于如何将定义在开放区域内的Green函数限制到有限区域上计算，本文的处理方法具有一般性：若辅助Green函数是解析的，则我们的边界处理也是精确的.通过与Poisson方程耦合后的自洽迭代模拟，数值上论证了我们的边界处理方法在二阶中心差分格式和线性有限元方法的计算中保持一致。　　 （c）利用Chebyshev多项式的积分特性，设计了Wigner方程的一类可用于非均匀网格的精确保证质量守恒的谱元法，特别地，如果选择合适的配置点，我们还可以借用快速正弦或者余弦变换来达到最优的计算效率.设计的初衷就是为了在非均匀网格上实现保持质量守恒的数值格式，进而为自适应的计算提供可能.数值实验证明，我们的方法具有精度高谱收敛的特性；且基于多步Runge-Kutta时间离散可进行长时间的稳定的瞬态模拟。　　 （d）设计了非线性Dirac方程的一类高阶Runge-Kutta间断Galerkin方法，并证明了半离散格式的能量稳定性.利用四阶精度的Runge-Kutta间断Galerkin方法模拟了非线性Dirac孤波间的相互作用，其中我们首次考虑了双峰孤波和存在初始相位差的情形.数值模拟揭示了非线性Dirac孤波碰撞中的许多新现象，例如，双峰孤波间的碰撞会出现崩塌；初始相位差在单峰同相孤波的碰撞过程中会发生变化；双峰孤波的二体或者三体作用中存在先排斥后吸引再崩塌的现象.物理上如何解释这些新现象是值得探讨的，尤其是存在相位差的情形.值得强调的是，在非线性Dirac孤波的碰撞实验中，高阶逼近和长时间的稳定性是很必要的，特别是出现振荡态时，这里所采用的Runge-Kutta间断Galerkin方法正好可以胜任。　　 本文对相关数值方法的讨论具有一般性，可推广到具有类似结构的微分方程的计算中.另外，除了在器件模拟和非线性孤波中的应用外，这里的数值方法还可应用到更广泛的量子物理领域甚至其他领域。