本文共两章.　　 第一章，我们建立了半环（交换半环）的Gr(o)bner-Shirshov基理论并得到半环（交换半环）的钻石合成引理(Composition-Diamond lemma).　　 Theorem0.01(半环的钻石合成引理)令S是一个FRig〈X〉中含首一多项式的集合，＞是Rig〈X〉上的一个项序，Id(S)是FRig〈X〉中由S生成的Ω-理想.则以下的叙述是等价的.　　 (1)S是FRig〈X〉的一个Gr(o)bner-Shirshov基.　　 (2)f∈Id(S)(→f)=a(s)bou，其中，a,b∈X*,u∈Rig〈X〉,s∈S.　　 (2)f∈Id(S)(→f)=α1a1s1b1 ou1+α2a2s2b2ou2+…+αnansnbnoun，其中，a1(s1)b1 ou1＞a2(s2)2b2 o u2＞…＞an(sn)bn o un,0≠αi∈F,ai，bi∈X*,ui∈Rig〈X〉,si∈S.　　 (3)irr(S)={w∈Rig〈X〉|w≠a(s)b o u对任意的a，b∈X*，u∈Rig〈X〉，s∈S}是FRig〈X|S〉=FRig〈X〉/Id(S)的一个F线性基，也是Rig〈X|S〉的一个规范型(normal form).　　 Theorem0.02(交换半环的钻石合成引理)令S是一个FRig[X]中含首一多项式的集合，＞是Rig[X]上的一个项序，Id(S)是FRig[X]中由S生成的Ω-理想.则以下的叙述是等价的.　　 (1)S是FRig[X]的一个Gr(o)bner-Shirshov基.　　 (2)f∈Id(S)(→f)=a(s)o u，其中，a∈[X]，u∈Rig[X]，s∈S.　　 (2)f∈Id(S)(→f)=α1a1s1ou1+α2a2s2ou2+…+αnansno un，其中，a1(s1)o u1＞a2(s2)o u2＞…＞an(sn) oun，αi∈F,ai∈[X]，ui∈Rig[X],si∈S.　　 (3)Irr(S)={w∈Rig[X]|w≠a(s)ou for any a∈[X]，u∈Rig[X]，s∈S}是FRig[X|S]=FRig[X]/Id(S)的一个F线性基，也是Rig[X[S]的一个规范型.　　 上述两个定理中，Rig〈X〉表示由X生成的自由半环，FRig〈X〉是域F上的半环代数，Rig〈X|S〉是以X为生成元集，S为关系集的半环，Rig[X]是由X生成的自由交换半环，FRig〈X〉是域F上的交换半环代数，Rig[X|S]是以X为生成元集，S为关系集的交换半环，Ω={·，o}是半环（交换半环）上的运算集，(f)是半环（交换半环）上的多项式f的首项.　　 我们证明了自由（交换）半环代数的每个理想有唯一的既约Gr(o)bner-Shirshov基.作为应用，我们找到了多项式半环的商环(N)[X]/(x=1+x+x2)和(N)[X]/(x=1+x2)的Gr(o)bner-Shirshov基，其中，(N)是自然数交换半环，(x=1+x+x2)((x=1+x2))是x=1+x+x2(x=1+x2)生成的同余.作为结果，我们分别找到了这些半环的规范型.进一步的，我们还证明了自然数交换半环(N)的每一个同余都是一元生成的，但是交换半环代数(N)[x]有一条无限的理想升链.　　 第二章，通过李代数的钻石合成引理，我们给出了交换环K上的自由部分交换李代数的Gr(o)bner-Shirshov基，从而我们得到了它的一个K线性基.