【摘 要】
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弱有限元（Weak Galerkin,简称WG）方法最早是由王军平和叶秀等人提出的一类非协调元方法,一般是将协调形函数和标准微分算子替换为相应的弱函数和弱微分算子,从而可以看成是对标准协调有限元方法的自然推广.弱有限元方法具有无缝地使用多边形网格和容易地构造高阶有限元的特性,也就是说,在使用间断多项式函数和任意形状的多边形有限元剖分上具有高度适应性和灵活性.另外,弱有限元方法还是无参数绝对稳定的.
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弱有限元（Weak Galerkin,简称WG）方法最早是由王军平和叶秀等人提出的一类非协调元方法,一般是将协调形函数和标准微分算子替换为相应的弱函数和弱微分算子,从而可以看成是对标准协调有限元方法的自然推广.弱有限元方法具有无缝地使用多边形网格和容易地构造高阶有限元的特性,也就是说,在使用间断多项式函数和任意形状的多边形有限元剖分上具有高度适应性和灵活性.另外,弱有限元方法还是无参数绝对稳定的.随着无稳定子的弱有限元方法的提出,WG方法的算法理论得到了进一步发展?通过使用更大的弱梯度函数空间去掉最初WG格式中的稳定子,从而简化了数值算法和程序实现的复杂度,同时误差估计也更为简洁.WG方法在科学计算领域中越来越多的应用表明,这种新方法正在变得更加流行和更加重要.本论文的第一个主题是关于WG方法的一种新的变形-超罚弱有限元方法（Over-penalized WG,简称OPWG）-在椭圆方程中的应用,这种方法使用了元(Pk,Pk,[Pk-1]d)和(Pk,Pk-1[Pk-1]d),d=2,3,其弱函数在有限元网格中的内部边或面上是双值的.我们证明了对于拟一致网格,产生于OPWG方法中的线性系统的条件数满足估计式O(h-β0（d）-1-~1),其中β0为罚参数?同时我们也引入了一个块对角的预处理子并且证明了它可以将全局刚度矩阵的条件数增长速度降低到O（h-~2）.我们相信,这个方法也可以在无稳定子的背景下扩展到多边形网格上.我们建立了误差在离散H~1范数和L~2范数下的最优先验估计,并通过数值实验证明了该方法的灵活性,有效性和可靠性.接下来的一个工作是关于内罚弱有限元（Interior-penalized WG,简称IPWG）方法在二阶椭圆问题上的应用,其中我们通过在最初OPWG格式中添加相容项来避免当罚参数较大时病态条件数的问题.我们基于弱有限元（Pk,Pk,RT k）建立了误差在能量范数和L~2范数意义下的最优先验估计.最后利用数值实验证明方法的有效性.第三部分以二阶椭圆问题为例,建立了标准WG方法的先验hp误差估计.一般情况下,WG方法会利用精确解的L~2正交投影作为中间变量进行误差估计,但是这种技巧在证明定义在一般多边形或多面体上的WG方法的hp误差估计时并不可行.在这部分工作中,我们首先将多项式逼近性质推广到了多边形上并引入了一个针对WG方法的抽象误差估计,其次通过利用这些条件建立了显式地依赖网格大小h和多项式阶数p的误差估计.最后,通过数值算例验证理论估计的可靠性.最后一部分内容中,我们引入了一个新的求解时谐Maxwell方程的无稳定子的WG方法.主要目的是对WG方法选取弱函数空间的灵活性和离散低正则Maxwell方程的稳定性进行推广和探索.通过利用与Mu L.et al 2015中不同的误差估计框架,我们建立了误差在能量范数下的最优先验估计?另外,对于相对低的正则性条件u,×u∈Hs+1/2（Th）,s＞0,我们证明了单纯形网格下的最优收敛性.数值实验结果很好的验证了新格式的有效性和适用性.
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