【摘 要】
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分数阶微积分算子较整数阶微积分算子具有非局部性,因此可用于描述生活中具有记忆和遗传特性的材料,如:电解化学、材料力学、信号处理、神经网络、凝聚态物理等.而分数阶偏微分方程可以描述具有历史依赖性和全域相关性的反常扩散现象,因此它在反常扩散的数学模型中的运用也越来越普遍.本文主要研究分数阶扩散方程在(0,∞)上的零控制问题和一维可压缩分数阶Navier-Stokes方程在I2π:=(0,2π)上的零控
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分数阶微积分算子较整数阶微积分算子具有非局部性,因此可用于描述生活中具有记忆和遗传特性的材料,如:电解化学、材料力学、信号处理、神经网络、凝聚态物理等.而分数阶偏微分方程可以描述具有历史依赖性和全域相关性的反常扩散现象,因此它在反常扩散的数学模型中的运用也越来越普遍.本文主要研究分数阶扩散方程在(0,∞)上的零控制问题和一维可压缩分数阶Navier-Stokes方程在I2π:=(0,2π)上的零控制问题.研究内容及成果如下:1.研究了满足某个特定假设的Q(x)作为一般情况时的分数阶扩散方程#12在(0,∞)上的零控制问题,其中T>0,1/2<σ<1,Ω=R1=(0,∞),V(t)∈I2(0,T)是关于时间t的控制函数.本章先将Sturm-Liouville中已存在的谱结论将控制问题转化为矩量问题,再用分数阶Paley-Wiener定理构造正交序列,由Sturm-Liouville算子的特征值构造的典型乘积和Malliavin乘子理论证明该正交序列收敛,由此得出该扩散方程是零可控的结论.最后Q(x)=x2被视为该类问题的一个典型推论.2.考虑了含恒定稳态(Q0,V0),Q0>0,V0>0的一维可压缩分数阶Navier-Stokes方程#12在区间I2π:=(0,2π)上的零控制问题,其中α∈(1/2,1),XO表示I2π内的任意开集O的特征函数.本章利用Mittag-Leffler函数替换指数函数后将控制问题转化为矩量问题,证明过程中主要运用Paley-Wiener定理构造一个复Mittag-Leffler函数族的正交序列,根据算子A的特征值构造的典型乘积和Malliavin乘子理论证明正交序列收敛,从而得出该分数阶Navier-Stokes方程零可控.本文将控制问题转化为矩量问题的方法为研究微分方程的零控制性提供了理论参考.
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