确定在D={z∈C:|z|<1}内的解析函数的极值和极值函数一直是单叶函数理论中的一个重要问题.Baernstein首先在单位圆上讨论给出了以Koebe函数作为极值函数的结论,Glenn Schober对H(D)中一些函数子类如S、P、K、S*等作了研究,将这些子类上的函数用积分表达出来,王键结合Baernstein<*>函数的定义及Glenn Schober的结论,定义了对称集的概念并得出了一些函数类在其上的积分平均.该文主要在Baernstein[2]及王键[3]关于积分平均值方面所做工作的基础上,对TG<*>h函数的性质进行研究,作出一些讨论.将[3]中对称集的概念推及k次对称集,讨论了对称集有关性质,得到一些有趣的结果,并将P、S<*>、K,CoK,St(α),B类函数在k次对称集上作出积分平均估计.另外,D<,k>上的某一类特殊的偏微分方程经过适当变换后转化为单位圆上的Laplace方程,其边值问题的解的积分平均估计可由k次对称化函数的性质较好给出.该文对k=1,k=2情形得出具体结果.