【摘 要】
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等时系统和拟齐次系统是两类重要的平面多项式微分系统,在理论和实际问题中均有着广泛的应用.本文主要研究一类等时系统和一类拟齐次系统的极限环分支问题,以及讨论平面三次拟齐次系统的全局动力学结构.全文分为五章.第一章主要介绍近年来国内外对于平面多项式微分系统的极限环、标准型、全局相图等问题的研究现状,并提出本文的研究框架.第二章介绍了平面拟齐次系统的基本概念、一阶平均法、拟齐次爆破法、庞加莱-李雅普诺夫
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等时系统和拟齐次系统是两类重要的平面多项式微分系统,在理论和实际问题中均有着广泛的应用.本文主要研究一类等时系统和一类拟齐次系统的极限环分支问题,以及讨论平面三次拟齐次系统的全局动力学结构.全文分为五章.第一章主要介绍近年来国内外对于平面多项式微分系统的极限环、标准型、全局相图等问题的研究现状,并提出本文的研究框架.第二章介绍了平面拟齐次系统的基本概念、一阶平均法、拟齐次爆破法、庞加莱-李雅普诺夫紧致化以及本文要用到的重要引理.第三章考虑一类具有等时中心的.2n+3.次多项式平面系统,利用一阶平均法探讨了该系统在m次多项式扰动下从中心的周期环域分支出极限环的最大个数H（m）.首先证明了对任何固定的自然数n及任何正整数k均有H（2k-1）=H（2k）;其次,针对n=1时,证明了H（1）=H（2）=1,H（3）=H（4）=4,H（5）=H（6）=8.第四章探讨一类具有全局中心的平面拟齐次系统的极限环分支.通过一阶平均法,研究该系统的周期环域在权次数为m的（n,1）-拟齐次多项式扰动下产生的极限环最大个数的上界,并且证明了该上界是可达的.同时,研究了该类系统在任意的n次多项式扰动下产生的极限环最大个数,所得结果证明了文献[GinéJ,Grau M,Llibre J,JDE,2015.]提出的上界是可达的.第五章研究平面三次拟齐次系统的全局动力学结构.首先,根据三次拟齐次系统的标准型,采用拟齐次爆破法和幂零奇点定理等工具来分析这些系统的唯一有限奇点的局部动力学性质;其次,应用庞加莱-李雅普诺夫紧致化研究系统在无穷远的奇点类型,并结合有限奇点的性态确定了所有标准系统的全局相图.最后,在拓扑等价的意义下对这些全局相图进行分类.
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