【摘 要】
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本文考虑超二次非周期哈密顿系统q（t）+Vq（t,q（t））=f（t）,t∈R（HS2）同宿轨道解的存在性,其中V（t,q）=-K（t,q）+W（t,q）关于变量t是T-周期的,K满足pinching条件b1|q|2≤K（t,q）≤b2|q|2,W满足（AR）条件,f∈L∞（R,Rn）∩L2（R,Rn）.在文献[21]中,Izydorek与Janczewska详细研究了上述问题,其基本思路是,对（
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本文考虑超二次非周期哈密顿系统q（t）+Vq（t,q（t））=f（t）,t∈R（HS2）同宿轨道解的存在性,其中V（t,q）=-K（t,q）+W（t,q）关于变量t是T-周期的,K满足pinching条件b1|q|2≤K（t,q）≤b2|q|2,W满足（AR）条件,f∈L∞（R,Rn）∩L2（R,Rn）.在文献[21]中,Izydorek与Janczewska详细研究了上述问题,其基本思路是,对（?）k≥1,在空间Ek（?）W2kT1,2（R,Rn）上,考虑周期问题#12得到其解qk=qk（t）∈Ek,对{qk}作一系列估计后,可知qk（t）→q（t）∈ Cloc1（R,Rn）为（HS2）的一个同宿轨道解.与之不同,本文利用Brezis-Nirenberg型山路定理,得到（HS2）相应的能量泛函φ的一个（C）c*序列{qm},进而证明{qm}存在一个弱收敛子列,其弱极限即为（HS2）的一个同宿轨道解.其次,本文对上述问题做了若干推广:（1）将（AR）条件推广至（AR）γ条件;（2）研究一类四阶非线性常微分方程的同宿轨道解;（3）研究一类六阶非线性常微分方程的同宿轨道解;（4）对（2）、（3）两类问题作（AR）γ推广.本文共分五章,其主要内容如下:第一章为绪论,介绍了哈密顿系统同宿轨道解相关的研究进展,以及本文的主要研究结果和创新点.第二章介绍了与本文相关的预备知识.第三章对关于（HS2）的同宿轨道解的Izydorek-Janczewsksa定理给出了 一个新的证明,虽然相应的能量泛函φ不满足（PS）条件,但可利用Brezis-Nirenberg型山路定理得到φ的一个（C）c,序列{qm},进而可证明{qm}的一个子列弱收敛到（HS2）的一个非平凡同宿轨道解.第四章进一步证明了将超二次（AR）条件减弱至（AR）γ条件后,（HS2）仍然存在同宿轨道解.第五章利用类似方法证明了在两类四阶和六阶的非线性常微分方程同宿轨道解的存在性.同样地,对其进行（AR）γ推广后也可得到类似的结果.
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