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Procrustes问题是数值代数研究的重要课题之一,它在控制理论、运输理论、动态规划、统计学等学科和工程计算领域有着广泛的应用,我们用ORm×n,SRn×n及SORn×n分别表示mxn阶正交矩阵,n×n阶对称矩阵及n×n阶对称正交矩阵集合,‖·‖表示nobenius范数.
本硕士论文主要研究以下两类Procrustes问题:
问题Ⅰ给定矩阵A∈Rm×m,B∈m×m,求X∈Orm×m使得‖XTAX-B‖=min.
问题Ⅱ给定矩阵A∈Rm×m,B∈Rn×n,求X∈Orm×n且m＞n使得‖XTAX-B‖=min.
问题Ⅲ给定矩阵A,B∈Rm×n,p∈SRn×n,求X∈Sp(1)使得‖AX-B‖=min,其中Sp(1)={X|XP=PX,x∈ORn×n}.
问题Ⅳ给定矩阵A,B∈Rm×n,P∈SRn×n,求X∈Sp(2)使得‖AX-B‖=min,其中,Sp(2)={X|XP=PX,X∈SORn×n}.
我们称问题Ⅰ和问题Ⅱ为双侧正交Procrustes问题,问题Ⅲ和问题Ⅳ为P-交换Procrustes问题,
本文主要研究成果如下:
1.针对问题Ⅰ和问题Ⅱ,我们通过可行集上梯度的投影能够用矩阵表示,给出了计算投影Hessian的一种方法.利用梯度投影和Hessian投影得到了问题Ⅰ和问题Ⅱ的第一阶和第二阶最优条件,同时,利用梯度投影的微分方程我们给出了得到全局(局部)最优解的一种数值方法.
2.关于问题Ⅲ和问题Ⅳ.即P-交换正交Procrustes问题和P-交换对称正交Procrustes问题,利用矩阵的奇异值分解和矩阵乘积的迹的性质给出了它们的一般解的表达式,当解集非空时,得到了最佳逼近解的通解表达式,并分别通过数值例子验证了结论的有效性.