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随着不定方程和斐波那契数列的不断发展,它的研究成果在数学以及其它领域都有着重要的作用,促使越来越多的学者对其进行更广泛深入地研究.本文从以下三方面的内容进行了研究:第一部分:利用初等方法研究了斐波那契数列3k子列的有限和,并证明了斐波那契数列的一个等式.第二部分:运用同余、Legendre符号、递归序列等性质,讨论了几个Pell方程的整数解的问题.1.给出了qx2-（qn±5）y2=±1（q≡±1,±3（mod10）是素数）型和ax2—mqy2=±1（m∈Z+,5|a,q = ±1,±3（mod10）是素数,a是合数,amq是非完全平方数）型的Pell方程的几个结果.2.证明了当D = 2n（n∈Z+）时,不定方程组x2-12y2=1与y2-Dz2=4只有平凡解（x,y,z）=（±7,±2,0）.3.证明了当D=P1 ···Ps（1≤s≤3）,其中pi（1≤s≤3）是互异的奇素数时,不定方程组x2-30y2 = 1 与y2-Dz2 = 4仅有正整数解 D = 483,（x,y）=（241,44,2）.4.证明了当D=2p1 ···ps（1≤s≤4）,其中pi（1≤s≤4）是互异的奇素数时,除开D = 2×3×337×673,不定方程组x2-42y2=1与y2-Dz2=4仅有平凡解（x,y,z）=（±13,±2,0）.第三部分:运用同余、递归序列、Pell方程的解的性质,研究了形如x3±C = Dy2的不定方程,最终证明方程x3±64 = 103y2,x3-1 = 109y2的整数解分别为:(（x,y）=（（?）4,0）,（x,y）=（1,0）.