【摘 要】
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Overpartition定义为普通整数分拆的部分首次出现的时候可以选择在其上面加上划线,也可以选择不加。它是一类重要的带约束条件的整数分拆,在组合数学、数论、数学物理中有着广泛的应用。历史上,overpartition由不同分支的数学家给出了不同的命名。直到2002年,Corteel和Lovejoy首次把这类分拆命名为overpartition并进行了系统的研究。本文主要研究overpartit
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Overpartition定义为普通整数分拆的部分首次出现的时候可以选择在其上面加上划线,也可以选择不加。它是一类重要的带约束条件的整数分拆,在组合数学、数论、数学物理中有着广泛的应用。历史上,overpartition由不同分支的数学家给出了不同的命名。直到2002年,Corteel和Lovejoy首次把这类分拆命名为overpartition并进行了系统的研究。本文主要研究overpartition的同余性质和它的统计量:rank和crank。Overpartition分拆函数的同余关系最早由Hirschhorn和Sellers研究,此后更多的模2,3,5的高次幂的同余关系相继被发现。最近,Xia证明了 overpartition分拆函数模9和27的无穷族同余关系并给出了一个关于overpartition分拆函数模243的猜想。在本文中,我们利用theta函数的（p,k）参数公式证明了 Xia提出的猜想。为了研究Ramanujan给出的普通分拆函数模5,7,11的经典的同余关系的组合解释,Dyson,Andrews和Garvan分别给出了普通分拆函数的统计量rank和crank。受此工作的启发,Bringmann,Lovejoy 和 Osburn 给出了 overpartition 的 rank 和 crank 的的定义。令 N（s,l;n）,M（s,l;n）,M2（s,l;n）分别表示 的 overpartition 中 rank,第一类 crank,第二类 crank 的值模l余s的overpartition分拆的个数。利用Appell-Lerch和的性质,我们建立了 N（s,l;n）,M（s,l;n）和M2（s,l;n）的生成函数,其中l∈{4,8}且0<s<l。基于这些生成函数,我们建立了包含了N（s,l;n）,M（s,l;n）和M2（s,l;n）（l∈{4,8}）的等式和不等式。
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