半环上矩阵的代数理论在最优化理论、图论、离散事件网络模型等方面都有极其重要的应用.它们在数学、模糊数学、理论计算机科学与信息科学等学科中也都占有重要的地位.它们具有鲜明的背景、丰富的理论、众多的公开问题.本文主要研究几类具有鲜明背景的半环上的矩阵.全文分为五章.第一章是绪论,简要地介绍了半环上矩阵的代数理论的研究背景和现状,以及本文所获得的一些主要结果.第二章研究了有限分配格上的n阶方阵.在该章中,我们首先探讨了有限分配格的一些次直积分解,然后给出了有限分配格上方阵的一个一般分解定理,即有限分配格上的方阵可以分解为它的一些特别子链上方阵的和,从而推广了文献[1]和[2]的相应矩阵分解定理.最后,作为应用,我们给出了计算有限分配格上方阵指标和周期的一般方法,并探讨了有限分配格上矩阵乘法半群的格林关系的一些性质.第三章主要把对第二章中对有限分配格上n阶方阵的探究推广到了一般分配格上的矩阵中.我们证明了分配格上的矩阵可以分解成它的其上若干特殊子链上矩阵的和.该结果推广了有限分配格上矩阵,链半环上矩阵,模糊矩阵等分解定理（包括文献[1],[2]和[3]的相应结果）.作为该分解定理的应用,我们也给出了分配格上方阵指标和周期的一般计算方法,并且还刻画了分配格上幂等矩阵和幂零矩阵的结构,从而推广了一般布尔代数,链半环,模糊半环等上幂等矩阵和幂零矩阵结构的相应结果.第四章研究了一般布尔代数上矩阵的一些线性保持性问题.线性保持性问题,是过去100多年来矩阵理论里面的一个非常活跃而且成果丰硕的的研究课题.在该章中,我们首先探究了一般布尔代数上强保持正则矩阵的线性算子的等价刻画,然后,注意到一般布尔代数同构于有限二元布尔代数的直积,我们也给出了有限二元布尔代数直积上强保持正则矩阵的线性算子的等价刻画.此外,我们也分别给出了一般布尔代数以及有限二元布尔代数直积上强保持可逆矩阵的线性算子的等价刻画,从而丰富了布尔代数上强保持矩阵不变性的内容,也拓宽了半环上矩阵的线性保持性问题的研究范围.第五章主要研究了上三角非负矩阵.上三角非负矩阵是一类重要的并被广泛研究的矩阵.在该章中,我们首先探究了自然数集上一些上三角非负矩阵的性质和特征,并对文献[4]中所提出的公开问题4和公开问题2做出了部分解答.接着,我们也研究了正整数集上一些上三角非负矩阵的性质和特征,且部分解答了文献[4]中所提出的公开问题3和公开问题1.