本论文研究了两个非线性偏微分方程（组）.其中，第一个问题是下列带混合边界条件的Lotka-Volterra生物数学模型正稳态解的存在性｛(a)u/(a)t-d1Δu=a(u-u2/k1)-cuv，(x,t)∈Ω×（0，∞)，(a)v/(a)t-d2Δv=b（v-v2/k2）+duv,(x,t）∈Ω×(0，∞)，(1)(a)u/(a)v=(a)v/(a)v+αv=0，（x,t）∈(a)Ω×（0，∞)，u(x,0)=u0(x)≥0,≠0,v(x,0)=v0（x)≥0,≠0,x∈Ω使用椭圆方程估计理论、指数理论和度理论，本文获得了如果b＞λ1d2和a＞μ1（cθb/d1）d1，或者λ1（-da/d2）d2＜b≤λ1d2，那么，捕食模型(1)至少存在一个正稳态解，即物种共存状态.　　第二个问题是下列带变号扰动的半线性椭圆方程正解存在的必要条件｛-Δu=λu+｜u｜P-1u+μf(x)， x∈Ω，(2)u=0, x∈(a)Ω.使用椭圆方程估计理论和变分方法，本文获得了如果方程(2)存在正解，那么，下列线性方程也一定存在非负解｛-Δv=λv+f(x)，x∈Ω，(3)v=0, x∈(a)Ω