非线性动力学理论和应用研究目前是国际非线性科学的前沿课题，随着科学技术的发展，现代工程结构和机械都向大型、高速、大功率、高性能、高精度和轻结构方向发展，使得机械、结构的非线性动力学问题日益突出。求解动力学方程对于分析和研究非线性动力学问题至关重要。动力学方程的求解往往依赖于近似的方法，微分求积法是近20年发展起来的一种新的数值近似方法，相比于传统的近似方法具有原理简单、计算量小、精度高，易于编程等优点。微分求积法已在包括结构力学、流体力学、热传导等许多研究领域得到了成功的应用。目前，国内外学者对微分求积法在工程力学领域中的应用研究已很多，但大多数是对工程结构进行静力或自由振动分析，而将其用于工程结构的复杂非线性动力学分析的还很少。本文以力学、机械和航空航天等工程领域中的一些典型的非线性动力学模型为研究对象，将微分求积法用于非线性动力学偏微分方程的直接求解，发展和改进微分求积方法，为非线性动力系统的分析提供一种简单有效的计算方法同时也发展数值方法理论、丰富微分求积法的应用领域。另外将微分求积法结合非线性动力学理论对工程结构进行复杂非线性动力学性质（例如周期、混沌、分叉）分析，了解和掌握其运动学特性，预测其长期的动力学行为，为力学、机械和航空航天等工程领域提供非线性动力学方面的理论分析和支持，因此研究微分求积法在非线性动力系统中的应用具有重要的理论意义和工程应用意义。本研究主要内容包括：　　⑴研究了如何将微分求积法和其它方法相结合对偏微分动力学方程进行求解。从理论上将微分求积法推广到偏微分动力学方程的求解并用数值算例说明了将微分求积法和其它方法相结合求解偏微分动力学方程的方法步骤，总结了对于高阶方程边界条件的一些处理方法，针对一些复杂边界条件提出了一种新的边界条件处理方法，即将出现的边界代数方程连同内部的控制常微分程联合组成微分代数方程组求解。同时将微分求积解与其它方法所得解进行了比较，证明了微分求积法的精度高，计算量小，易于操作等优点。　　⑵以三角函数为基函数，利用Fourier微分求积法对轴向移动梁的面内振动及面内和面外耦合振动的非线性动力学性质进行了分析。首先利用Fourier微分求积法分别求解了轴向移动梁的面内振动及面内和面外耦合振动的非线性动力学控制方程，结合非线性动力学理论，利用分叉图、相图、李雅普诺夫指数等研究了轴向移动梁的面内振动及面内和面外耦合振动的非线性动力学行为。由各种图形得到的其非线性动力学性质是一致的，因而说明Fourier微分求积法用来研究类似轴向移动梁的轴向移动连续体的非线性动力学行为是简单有效的。　　⑶利用二维问题的微分求积法研究了横向与面内载荷联合作用下蜂窝夹层板的非线性动力学行为。首先，利用微分求积法将其非线性偏微分动力学方程离散为非线性常微分方程组，在数值结果的基础上结合非线性动力学理论，利用分叉图、时间历程图、三维相图、庞加莱截面等对蜂窝夹层板非线性动力学特性进行分析。由以上方法得到的其非线性动力学性质是一样的，因而证明微分求积法能够用来有效地分析类似蜂窝夹层板这样的高维系统的非线性动力学性质。　　⑷利用微分求积法研究了横向载荷和轴向载荷联合作用下的粘弹性悬臂梁的非线性动力学行为。首先利用微分求积法将粘弹性悬臂梁的控制偏微分方程和边界条件进行离散，利用新的施加边界条件方法施加其悬臂边界条件得到一微分代数方程组。在数值结果的基础上结合非线性动力学理论，利用分叉图、时间历程图、三维相图、庞加莱截面等对粘弹性悬臂梁的非线性动力学特性进行分析。由以上方法得到的其非线性动力学性质是一样的，研究结果表明微分求积法以及新的施加边界条件方法处理悬臂结构问题是简单有效的。　　⑸楔形基无网格微分求积法的构造和应用。以楔形基函数为试函数构造了一种新的微分求积法即楔形基无网格微分求积法。楔形基无网格微分求积法是一种真正的无网格法，以楔形基函数为试函数确定权系数。给出了楔形基无网格微分求积法的一般理论及其权系数的计算方法。并利用该方法研究了受横向激励的蜂窝夹层悬臂板的非线性动力学行为，研究结果表明了该方法的有效性和巨大潜力，同时显示了该方法在处理多元问题时，与传统的微分求积法相比所具有的不用划分网格，把多元问题可以按照一元问题来处理等优越性。