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在《新编高中数学教材》中增加平面和空间向量的学习,通过向量的学习,将使学生对量的数学表达的认识进入一个新的领域,同时学生对平面几何乃至立体几何的定理及有关性质的推导和证明,对解析几何有关问题的理解及应用,三角函数公式及其性质的来源、证明和运用等又达到了质的飞跃.并通过向量的实际应用培养学生空间想象力,思维能力,把实际问题转化为数学模型的能力.
一、利用向量法证明三角形中两个三线共点问题
例1用向量证明三角形的三条中线共点.
分析:本题的意图是为了提高学生用向量证明平面几何命题的能力,在教学时启发学生,要证明三线共点,可转化为先证明三线中两线分别共点于G1,G2,然后再证明点G1与点G2重合.这样便可达到证明三线共点的目的.如图1所示,可设AD与BE相交于点G1,AD与CF相交于点G2,然后证明G1与G2点重合.图1
证明:设AC=a,BC=b为基底,则AB=a-b,AD=a-12b,BE=-12a+b.设AD与BE相交于点G1,并设AG1=λAD,BG1=μBE,则AG1=λa-λ2b,BG1=-μ2a+μb.又因为AG1=AB+BG1=(1-μ2)a+(μ-1)b,所以λ=1-μ/2,
-λ/2=μ-1.所以λ=μ=23,即AG=23AD.再设AD与CF相交于G2,同理可得AG=23AD.所以点G1与点G2重合,即AD、BE、CF相交于同一点.
例2求证△ABC的三条高相交于一点.
图2证法1:设△ABC的AB、AC边上高分别为CF、BE,它们交于点H,连结AH如图2.设AB=c,AC=b,AH=h.则CH=h-b,BH=h-c.因为CH⊥AB,BE⊥AC,所以c·(h-b)=0,b·(h-c)=0.所以c·h-c·b=0①.b·h-b·c=0②.①-②得c·h-b·h=0,即(c-b)·h=0.因为CB=c-b,所以BC⊥AH.所以三角形三条高交于一点.
证法2:设AB=c,AC=b.因为AB与AC不共线,所以AH=mc+mb.因为BC⊥AH,所以(mc+nb)·(b-c)=0.所以(m-n)b·c+nb2=mc2①.又因为BH=BA+AH=-c+mc+nb=(m-1)c+nb,所以BH⊥AC.所以[(m-1)c+nb]·b=0,即(m-1)b·c+mc2=0②.由②-①得(n-1)b·c+mc2=0.又因为CH=CA+AH=(n-1)b+mc,所以CH·AB=[(n-1)b+mc]·c=(n-1)b·c+mc2=0.所以CH⊥AB.所以三角形三条高交于一点.
二、用向量证明正弦定理和余弦定理
图3例3正弦定理的证明教材先从直角三角形因为初三已有锐角三角函数的基础的特殊情况推导出正弦定理的结论,具体的步骤是:利用向量知识证明正弦定理.由于正弦定理的适用性是任意三角形,所以不妨先讨论:1直角三角形asinA=bsinB=csinC.显然,由解直角三角形知识可解决.2从特殊直角三角形猜测锐角三角形命题是否仍然成立.然后在锐角三角形中运用向量的数量积加以证明.3最后让学生对钝角三角形中的正弦定理加以证明.
下面将锐角三角形的正弦定理证明的教学过程再阐述一下:怎样引导学生运用向量的数量积把三角形的边长与三角函数联系起来呢?
[江西省信丰县信丰中学341600]
一、利用向量法证明三角形中两个三线共点问题
例1用向量证明三角形的三条中线共点.
分析:本题的意图是为了提高学生用向量证明平面几何命题的能力,在教学时启发学生,要证明三线共点,可转化为先证明三线中两线分别共点于G1,G2,然后再证明点G1与点G2重合.这样便可达到证明三线共点的目的.如图1所示,可设AD与BE相交于点G1,AD与CF相交于点G2,然后证明G1与G2点重合.图1
证明:设AC=a,BC=b为基底,则AB=a-b,AD=a-12b,BE=-12a+b.设AD与BE相交于点G1,并设AG1=λAD,BG1=μBE,则AG1=λa-λ2b,BG1=-μ2a+μb.又因为AG1=AB+BG1=(1-μ2)a+(μ-1)b,所以λ=1-μ/2,
-λ/2=μ-1.所以λ=μ=23,即AG=23AD.再设AD与CF相交于G2,同理可得AG=23AD.所以点G1与点G2重合,即AD、BE、CF相交于同一点.
例2求证△ABC的三条高相交于一点.
图2证法1:设△ABC的AB、AC边上高分别为CF、BE,它们交于点H,连结AH如图2.设AB=c,AC=b,AH=h.则CH=h-b,BH=h-c.因为CH⊥AB,BE⊥AC,所以c·(h-b)=0,b·(h-c)=0.所以c·h-c·b=0①.b·h-b·c=0②.①-②得c·h-b·h=0,即(c-b)·h=0.因为CB=c-b,所以BC⊥AH.所以三角形三条高交于一点.
证法2:设AB=c,AC=b.因为AB与AC不共线,所以AH=mc+mb.因为BC⊥AH,所以(mc+nb)·(b-c)=0.所以(m-n)b·c+nb2=mc2①.又因为BH=BA+AH=-c+mc+nb=(m-1)c+nb,所以BH⊥AC.所以[(m-1)c+nb]·b=0,即(m-1)b·c+mc2=0②.由②-①得(n-1)b·c+mc2=0.又因为CH=CA+AH=(n-1)b+mc,所以CH·AB=[(n-1)b+mc]·c=(n-1)b·c+mc2=0.所以CH⊥AB.所以三角形三条高交于一点.
二、用向量证明正弦定理和余弦定理
图3例3正弦定理的证明教材先从直角三角形因为初三已有锐角三角函数的基础的特殊情况推导出正弦定理的结论,具体的步骤是:利用向量知识证明正弦定理.由于正弦定理的适用性是任意三角形,所以不妨先讨论:1直角三角形asinA=bsinB=csinC.显然,由解直角三角形知识可解决.2从特殊直角三角形猜测锐角三角形命题是否仍然成立.然后在锐角三角形中运用向量的数量积加以证明.3最后让学生对钝角三角形中的正弦定理加以证明.
下面将锐角三角形的正弦定理证明的教学过程再阐述一下:怎样引导学生运用向量的数量积把三角形的边长与三角函数联系起来呢?
[江西省信丰县信丰中学341600]