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摘 要：高中数学教学应当强调学以致用，需要培养学生良好的直觉思维水平. 在高中数学新知结束之后，利用生活中的数学，利用跨学科知识运用中的数学，可以有效地激发学生的数学应用意识，并培养学生的数学应用能力. 事实证明，良好的数学应用水平最终体现在数学应用的直觉上，因此数学应用教学的有效性，最终体现为提高学生的数学直觉水平.
关键词：高中数学；数学应用；有效教学
中国教学有着一贯的“学以致用”的传统，尽管在不同的历史时期，对于“用”的解释各有不同，但从学习规律的角度来看，通过应用来促进知识的掌握却也是合理的. 高中数学教学在学生的心目当中常常是高度抽象、高度概括的，学生所能感知到的应用常常是数学习题的解答，显然完全局限于这样的范围不利于学生数学知识的掌握，更加不利于学生理解数学. 如果高中数学教学能够突破数学习题的束缚，在跨学科、重现实的方向上多做努力，那对于促进高中数学的有效教学会有相当的益处. 笔者在近年的数学教学中，在数学的应用性方面做了一些思考，形成了一些心得，列举如下.
[?] 数学应用于生活，激发学生数学应用的意识
笔者的教学经验表明，当跟学生提及数学应用的时候，学生的第一反应就是数学知识在实际生活中的应用，后来通过调查知道这与学生在义务教育阶段形成的一些认识有关. 既然学生有这样的前经验，那高中数学教学中的数学应用，就可以从将数学知识应用于生活开始，以激发学生初步的数学应用的意识. 事实上，今天的数学教学的理念之一就是“数学应当是现实的数学”，这一理念应当有两个层面的理解：第一个层面，在数学知识生成的过程中，需要结合具体的现实例子. 关于这一点，实际教学中做得比较好，一个数学知识的生成，往往会借助于实际例子；第二个层面，在数学知识的应用过程中，需要现实的生活模型，关于这一点则做得不太理想. 笔者在这一点重点阐述的就是这个层面的内容.
比如说在三角函数知识的教学中，为了强化学生对正弦定理与余弦定理的掌握，可以引入一些实际生活中的问题. 笔者向学生呈现的是一则经过改编的实际问题：在我市的城区有两座高楼（此处略去名称，实际呈现给学生的时候应当说明楼盘的名称，这样更容易吸引学生），给你一个测角仪和一个皮尺，你能否测出两座高楼之间的距离？能否测出楼的高度？（默认两楼的底部在同一水平面上. ）
这样的问题与一般的数学习题不同，其有具体的情境，但没有具体的数据，因此学生在面对此问题时，最初的感觉往往是觉得无处下手，用学生的话说就是，以前的题目数据是现成的，只要想到公式，想到方法，往公式里代入数据就行了. 在学生有了这一认识的时候，笔者强调这就是“学以致用”的魅力所在，实际生活中的数学应用往往都是没有现成的数据的，数学方法的使用、数据的采集都需要问题解决者自己去进行. 当然，今天我们解决这个问题不需要到现场去采集真的数据，只需要在我们的草稿纸上建立数学模型，找好数学方法，所采集的数据可以用符号表示……这样的解释是笔者精心准备的：一是跟学生强调了数学应用与数学解题的不同点；二是强调了数学应用重点在于建立数学模型和寻找数学方法；三是用符号代替数据.
经过了这一番点拨，学生就带着数学应用的思维回到了问题上. 事实证明，高中阶段的大部分学生在这一点上表现还是不错的，他们的思维能够迅速转变：他们能够用两根竖直的线代表高楼，然后在两楼之间另外寻找一点建立三角形，然后量角仪可以提供角度大小，皮尺可以提供边的距离. 此时学生就容易想到正弦定理与余弦定理，于是问题就迎刃而解.
在这个过程中，教学的重心应当放在学生的数学应用意识激发上，跟他们强化日常生活中数学应用的场合及一般的问题解决思路，必要的时候还必须激趣，以强化学生的数学应用认识.
[?] 数学应用跨学科，培养学生数学应用的能力
高中数学教学中也应当通过跨学科来培养学生的数学应用能力，这里有两个得天独厚的优势：一是高中数学的应用性本身就比较强，其在高中物理与化学学科中的应用其实非常广泛. 根据笔者的了解，如果学生在其他学科的学习中能够运用到数学的某个知识——不是基本的运算，而是数学方法的应用，那学生的热情就会非常高涨；二是高中学生的思维比较发散，他们实际上也期待不同学科之间能够发挥相互促进的作用. 利用这两个优势，到其他学科中选择教学素材，是促进高中数学有效教学的智慧之举.
比如说有教师在“数列”知识的教学中，给学生呈现了这样的一个跨学科问题：用一台抽气机将1Mpa的气体从容积为10L的容器中抽出，每次抽出的气体均为0.1L. 如果保持温度不变，那抽取了5次之后，容器内剩余气体的压强是原来的几分之几？
这一问题具有明显的物理情境，对于学生来说在数学课堂上出现了物理知识，可以吸引几乎所有学生的注意（这是非常难得的）. 但这个物理情境经过数学建模之后会变成一个数学问题，即数列问题. 学生会发现每次抽出相同体积的气体，会让5次的抽取形成一个等比数列. 而求压强便可以借助于物理上的克拉伯龙方程去建立一个通项，于是问题就可以得到解决.
同样，数学应用还可以借助于化学情境，比如说笔者在某资料上发现这样的一个跨学科问题：甲乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A，B两个喷雾器中分别配制成12%，6%的药水各10千克，实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A，B两喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器药水成了含有a%的药水，B喷雾器药水成了含有bn%的药水. （1）证明：an bn是一个常量；（2）按照这样的方式进行下去，他们能否得到浓度大致相同的药水？
这一问题毫无疑问也是跨学科的，学生初始感知到的是化学知识，但经过建模之后可以成为一个与数列和极限相关的数学问题. 一般来说，跨学科的数学问题可以有效地培养学生的数学应用能力，一个原因就是上面提到的可以吸引学生的注意力；另一个原因就是数学建模. 需要强调的是，在这一过程中需要强化学生的成就动机，尤其是在学生成功地解决问题之后，需要不着痕迹地表扬学生——高中学生不喜欢虚假的表扬.
[?] 数学应用强意识，深化学生数学应用的直觉
通过强化数学应用来促进高中数学的有效教学，一个重要的维度是培养学生的数学应用直觉. 直觉思维是优于形象思维和抽象思维的，其最大优点就是思维的速度快，有时不需要经过太多的推理即可以获得正确的思路与答案. 在高中数学教学中，直觉思维起着很大的作用，但客观地来说，不少学生的直觉思维水平往往都是大量数学习题的重复训练形成的，从效果上来说还可以，但从效率上来说则不尽如人意. 在有效教学的视角下，如果能够通过数学应用来培养学生的直觉思维，尤其是提高学生的直觉思维水平，那是非常有必要的.
记得有一次在数学观摩课堂上，上课教师向学生呈现了这样的一个问题：在伴性遗传中，比较典型的红绿色盲产生情况如表1.
问：为什么红绿色盲的患者是男性多于女性？
学生起初遇到这个问题时，感觉这是个生物问题（跨学科特点），但既然呈现在数学课堂上，应当可以通过数学知识来解答. 没有教师的任何点拨学生一会儿便发现了，这是一个概率问题. 笔者以为学生反应如此迅速，恰恰是良好的直觉水平的体现.
有研究者指出，通过从特殊到一般，或者通过对比条件进行引申，或者用等价变换进行引申，可以让学生在发现问题、分析问题和解决问题的过程中获得良好的数学应用直觉的培养. 更有研究者指出，在一个数学问题中，把条件进行相似变换，如数学元素的数量的变化，几何问题中线段数、线的长度、角的大小的变化，函数问题中变量的变化等，可以让学生在变化的情境中重复（但学生往往感觉不到重复）运用数学知识，从而形成良好的数学直觉. 在笔者看来，这里其实有着丰富的数学变式的思想，且需要强调的是，这样的变式过程中，不能只注重数的变化，更要注重形的变化，将数学知识罩上实际问题的外衣，可以让数学知识获得应用中的生命力，自然也可以培养学生在生活描述中发现数学实质的能力.
总的来说，数学应用更多的体现在数学直觉上，我们期待的是学生能够面对实际问题时立即发现其数学本质. 这显然是一个较高的教学目标，不过从有效教学的角度来看，这一目标也并非高不可攀. 结合当下高考也有联系实际问题的趋势，笔者以为在日常的数学教学中通过实际问题、跨学科问题培养学生数学应用的意识，还是非常必要的.
关键词：高中数学；数学应用；有效教学
中国教学有着一贯的“学以致用”的传统，尽管在不同的历史时期，对于“用”的解释各有不同，但从学习规律的角度来看，通过应用来促进知识的掌握却也是合理的. 高中数学教学在学生的心目当中常常是高度抽象、高度概括的，学生所能感知到的应用常常是数学习题的解答，显然完全局限于这样的范围不利于学生数学知识的掌握，更加不利于学生理解数学. 如果高中数学教学能够突破数学习题的束缚，在跨学科、重现实的方向上多做努力，那对于促进高中数学的有效教学会有相当的益处. 笔者在近年的数学教学中，在数学的应用性方面做了一些思考，形成了一些心得，列举如下.
[?] 数学应用于生活，激发学生数学应用的意识
笔者的教学经验表明，当跟学生提及数学应用的时候，学生的第一反应就是数学知识在实际生活中的应用，后来通过调查知道这与学生在义务教育阶段形成的一些认识有关. 既然学生有这样的前经验，那高中数学教学中的数学应用，就可以从将数学知识应用于生活开始，以激发学生初步的数学应用的意识. 事实上，今天的数学教学的理念之一就是“数学应当是现实的数学”，这一理念应当有两个层面的理解：第一个层面，在数学知识生成的过程中，需要结合具体的现实例子. 关于这一点，实际教学中做得比较好，一个数学知识的生成，往往会借助于实际例子；第二个层面，在数学知识的应用过程中，需要现实的生活模型，关于这一点则做得不太理想. 笔者在这一点重点阐述的就是这个层面的内容.
比如说在三角函数知识的教学中，为了强化学生对正弦定理与余弦定理的掌握，可以引入一些实际生活中的问题. 笔者向学生呈现的是一则经过改编的实际问题：在我市的城区有两座高楼（此处略去名称，实际呈现给学生的时候应当说明楼盘的名称，这样更容易吸引学生），给你一个测角仪和一个皮尺，你能否测出两座高楼之间的距离？能否测出楼的高度？（默认两楼的底部在同一水平面上. ）
这样的问题与一般的数学习题不同，其有具体的情境，但没有具体的数据，因此学生在面对此问题时，最初的感觉往往是觉得无处下手，用学生的话说就是，以前的题目数据是现成的，只要想到公式，想到方法，往公式里代入数据就行了. 在学生有了这一认识的时候，笔者强调这就是“学以致用”的魅力所在，实际生活中的数学应用往往都是没有现成的数据的，数学方法的使用、数据的采集都需要问题解决者自己去进行. 当然，今天我们解决这个问题不需要到现场去采集真的数据，只需要在我们的草稿纸上建立数学模型，找好数学方法，所采集的数据可以用符号表示……这样的解释是笔者精心准备的：一是跟学生强调了数学应用与数学解题的不同点；二是强调了数学应用重点在于建立数学模型和寻找数学方法；三是用符号代替数据.
经过了这一番点拨，学生就带着数学应用的思维回到了问题上. 事实证明，高中阶段的大部分学生在这一点上表现还是不错的，他们的思维能够迅速转变：他们能够用两根竖直的线代表高楼，然后在两楼之间另外寻找一点建立三角形，然后量角仪可以提供角度大小，皮尺可以提供边的距离. 此时学生就容易想到正弦定理与余弦定理，于是问题就迎刃而解.
在这个过程中，教学的重心应当放在学生的数学应用意识激发上，跟他们强化日常生活中数学应用的场合及一般的问题解决思路，必要的时候还必须激趣，以强化学生的数学应用认识.
[?] 数学应用跨学科，培养学生数学应用的能力
高中数学教学中也应当通过跨学科来培养学生的数学应用能力，这里有两个得天独厚的优势：一是高中数学的应用性本身就比较强，其在高中物理与化学学科中的应用其实非常广泛. 根据笔者的了解，如果学生在其他学科的学习中能够运用到数学的某个知识——不是基本的运算，而是数学方法的应用，那学生的热情就会非常高涨；二是高中学生的思维比较发散，他们实际上也期待不同学科之间能够发挥相互促进的作用. 利用这两个优势，到其他学科中选择教学素材，是促进高中数学有效教学的智慧之举.
比如说有教师在“数列”知识的教学中，给学生呈现了这样的一个跨学科问题：用一台抽气机将1Mpa的气体从容积为10L的容器中抽出，每次抽出的气体均为0.1L. 如果保持温度不变，那抽取了5次之后，容器内剩余气体的压强是原来的几分之几？
这一问题具有明显的物理情境，对于学生来说在数学课堂上出现了物理知识，可以吸引几乎所有学生的注意（这是非常难得的）. 但这个物理情境经过数学建模之后会变成一个数学问题，即数列问题. 学生会发现每次抽出相同体积的气体，会让5次的抽取形成一个等比数列. 而求压强便可以借助于物理上的克拉伯龙方程去建立一个通项，于是问题就可以得到解决.
同样，数学应用还可以借助于化学情境，比如说笔者在某资料上发现这样的一个跨学科问题：甲乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A，B两个喷雾器中分别配制成12%，6%的药水各10千克，实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A，B两喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器药水成了含有a%的药水，B喷雾器药水成了含有bn%的药水. （1）证明：an bn是一个常量；（2）按照这样的方式进行下去，他们能否得到浓度大致相同的药水？
这一问题毫无疑问也是跨学科的，学生初始感知到的是化学知识，但经过建模之后可以成为一个与数列和极限相关的数学问题. 一般来说，跨学科的数学问题可以有效地培养学生的数学应用能力，一个原因就是上面提到的可以吸引学生的注意力；另一个原因就是数学建模. 需要强调的是，在这一过程中需要强化学生的成就动机，尤其是在学生成功地解决问题之后，需要不着痕迹地表扬学生——高中学生不喜欢虚假的表扬.
[?] 数学应用强意识，深化学生数学应用的直觉
通过强化数学应用来促进高中数学的有效教学，一个重要的维度是培养学生的数学应用直觉. 直觉思维是优于形象思维和抽象思维的，其最大优点就是思维的速度快，有时不需要经过太多的推理即可以获得正确的思路与答案. 在高中数学教学中，直觉思维起着很大的作用，但客观地来说，不少学生的直觉思维水平往往都是大量数学习题的重复训练形成的，从效果上来说还可以，但从效率上来说则不尽如人意. 在有效教学的视角下，如果能够通过数学应用来培养学生的直觉思维，尤其是提高学生的直觉思维水平，那是非常有必要的.
记得有一次在数学观摩课堂上，上课教师向学生呈现了这样的一个问题：在伴性遗传中，比较典型的红绿色盲产生情况如表1.
问：为什么红绿色盲的患者是男性多于女性？
学生起初遇到这个问题时，感觉这是个生物问题（跨学科特点），但既然呈现在数学课堂上，应当可以通过数学知识来解答. 没有教师的任何点拨学生一会儿便发现了，这是一个概率问题. 笔者以为学生反应如此迅速，恰恰是良好的直觉水平的体现.
有研究者指出，通过从特殊到一般，或者通过对比条件进行引申，或者用等价变换进行引申，可以让学生在发现问题、分析问题和解决问题的过程中获得良好的数学应用直觉的培养. 更有研究者指出，在一个数学问题中，把条件进行相似变换，如数学元素的数量的变化，几何问题中线段数、线的长度、角的大小的变化，函数问题中变量的变化等，可以让学生在变化的情境中重复（但学生往往感觉不到重复）运用数学知识，从而形成良好的数学直觉. 在笔者看来，这里其实有着丰富的数学变式的思想，且需要强调的是，这样的变式过程中，不能只注重数的变化，更要注重形的变化，将数学知识罩上实际问题的外衣，可以让数学知识获得应用中的生命力，自然也可以培养学生在生活描述中发现数学实质的能力.
总的来说，数学应用更多的体现在数学直觉上，我们期待的是学生能够面对实际问题时立即发现其数学本质. 这显然是一个较高的教学目标，不过从有效教学的角度来看，这一目标也并非高不可攀. 结合当下高考也有联系实际问题的趋势，笔者以为在日常的数学教学中通过实际问题、跨学科问题培养学生数学应用的意识，还是非常必要的.