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《数学课程标准（实验稿）》指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”抽象是抽取事物的本质属性，使它与其他属性分开；概括是将同类事物的相同属性结合起来。抽象和概括是形成概念的思维过程和科学方法，只有经过抽象和概括，才能使人们对事物的认识由感性认识升华为理性认识。
一、感性经验——抽象概括的基石
感知即感觉和知觉，是人们认识活动的初级阶段，是抽象概括的基石。充分的感知可以帮助学生获得大量的感性材料，为学生进行有效的抽象概括创造条件。
1?郾丰富感知素材。抽象概括的过程实际上是举“三”反“一”的过程，感知材料越丰富，越具有全面性、典型性，越有利于学生进行准确的抽象概括。
策略一：把概念置于其生成的背景。我们对数与形的认识不是孤立的，如果把认知对象置于其所处背景之中，或者借助与之相似概念的沟通，与之相对概念的对比，就更容易获得清晰、准确、全面的认识。
例如教学“倒数的认识”，可以出示下面一组算式：
先让学生算一算这些算式的结果，学生很容易发现它们的得数都是1。接着让学生把这些得数是1的算式分一分类，学生可能按照参与计算的数字的个数来分，也可能按照运算符号来分。第一种分法可以把以上算式分为两类：三个数参与计算的为第一类；其余算式为第二类。第二种分法，把第一种分法中的第二类算式分为四小类：相乘：×3，×，2×，×；相加：+；相减：3?郾5-2?郾5；相除：3÷3。在两次分类的基础上，教师指出：乘积是1的两个数互为倒数。让学生从得数为1的各类算式中抽取出两个数相乘乘积是1的算式。这样教学，将倒数的概念置于其生成的背景，层层递进，学生对倒数概念中的两个内涵：“乘积是1”和“两个数”的理解就比较透彻了。
策略二：借助相对（或相邻）概念间的对比强化感知。我们对某一概念的认识，并不一定都要从这个概念本身出发。当局限于概念本身的范围理解概念很难走向深入时，不妨借助相邻或者是相对概念的对比来理解此概念。
如，教学“用分数表示可能性的大小”一课，教材首先出示的是下面的情境图：
教学时，学生都认为猜左右的方法是公平的，但给出的理由是不充分的——乒乓球可能在左手，也可能在右手，只有这样两种可能，因此这种做法是公平的。学生仅仅看到了“只有两种可能”，并没有感受到“两种可能性的大小是相等的”。怎样强化学生的第二种感受？我又采取了另外一种决定发球权的方法：把一只鸡毛毽抛上去，底盘着地A发球，鸡毛着地B发球。这种方法公平吗？学生说不公平，因为鸡毛着地可能性几乎没有。借助这样一个相反的情境，学生对 表示某种事件发生的可能性有了全面的感知：不仅要关注有几种可能，还要关注这几种可能的大小是否相等。而单纯依赖教材提供的情境，学生很难获得深入的感受。
2?郾强化感性经验。受年龄的限制，小学生对事物的认知往往具有以下特点：（1）笼统。缺少精细的分析，粗枝大叶。（2）无意识。对强信息因素感知强烈，对背景信息容易忽视，感知过程多是杂乱无章，缺少顺序性。（3）被动。不能有意识地从解决问题的需要出发有目的地感知，往往被引起和激发他们兴趣的事物所干扰。由此可见，教师呈现感知素材时，不一定依赖教材的编排方式，可以根据儿童的感知特点，灵活变化学习素材的呈现方式，使学生更加容易关注学习素材中的关键要素，并做到有意识、有顺序、有重点地感知，从而强化感性经验。
策略三：重点内容强化刺激。需要学生看得清、听得细的内容，其刺激必须达到一定强度。在通常情况下，我们可以借助清晰的、有条理的板书和抑扬顿挫的语气等方式强调重点内容，使学生把注意力集中在概念的本质要素上，从而帮助学生有效地进行抽象概括。
例如，教学“分数的初步认识”有这样一道练习题：
学生用分数正确表示出每个图里的涂色部分后，我说：“同学们仔细看一看这些图与它们相对应的分数，边读边体会每个数所表示的意义。再想一想，，，这些分数都有什么共同点，都表示什么意义。”由于有了刚才写一写、看一看、读一读的强烈刺激，学生很轻松地说出：“它们都是把一个图形平均分成几份，表示其中的一份，都可以用几分之一来表示。”如果在学生写完分数之后就急于进行抽象概括，而没有读一读的强烈刺激，他们是不可能有深刻体验的。
策略四：教学过程动态化处理。教材受各方面因素的影响，不可能完整地展示知识形成的全部过程，往往只是静态地唤起学生的思考进行理解性的学习。但是静态的东西一般比较呆板，很难吸引学生的注意力，更不利于把学生的注意力集中在研究概念的本质属性上。因此，教师应把静态的素材和单调的学习过程动态化，帮助学生获得深刻的体验。
例如教学“大约几时”，教材呈现的是：
按照教材呈现的内容按部就班地教学，学生对“大约7时”的理解是机械的、静态的，不利于学生主动构建认知结构。于是，我创设了这样的问题情境：小明和小刚约定上午9时到图书馆看书。接着多媒体出示一个动态演示的钟面：指针不停地走动，快到9时的时候，小刚来到了。我问学生：“小刚迟到了吗？”学生说：“没有。”我接着问：“你是怎样看出来的？”学生说：“时针接近9时，分针快到12了，说明9时还不到。”当学生理解了“9时还不到”之后，指针接着走，刚过9时，我问学生：“小刚迟到了吗？”学生说：“迟到了。”我接着问：“你是怎样看出来的？”学生说：“时针刚过9，分针刚过12，说明9时刚过。”在此基础上，我揭示：“9时还不到与9时刚过，都非常接近9时，接近9时可以说是大约9时。”借助动态展示情境，学生对“大约9时”的认识也就变得鲜活而准确了。
二、巧妙引导——抽象概括的法宝
小学生正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，抽象概括对他们来说是认知能力的一次飞跃，也是学习过程中的一个难点。有了丰富的感性认识，也只是为学生进行有效的抽象概括提供了可能。对于学生来说，普遍存在的困惑是：脑中有思路，心中有想法，口中有话说，就是难以全面、清晰、准确地进行表达。这个阶段，需要教师采取一些相关策略，帮助学生进行有效的抽象概括。
策略一：妙用板书，给思维一个支撑点。学生对新知的探究过程，如同在一个陌生的城市寻找通往目的地的道路，他们更多的是关注目前所处的位置。随着探究的不断深入，学生仅仅是对当下的经验感受比较强烈，而对于最初获得的感性经验可能会逐渐淡化。要让学生在探究之后还能准确地把握整个探究过程，教师的板书是非常重要的。板书就像我们“找路”过程中的“标志性建筑”，可以帮助我们清晰地回忆整个探究过程，从而获得抽象认识。
例如，教学“解决问题的策略——替换”。例1是：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？通过想一想、画一画、说一说等活动，学生自主探究出两种方式（1）把大杯替换成小杯，用720÷（6+3）=80（毫升）求出小杯的容量，再用80×3=240（毫升）求出大杯的容量。（2）把小杯替换成大杯，用720÷（1+2）=240（毫升）求出大杯的容量，再用240÷3=80（毫升）求出小杯的容量。学生汇报时，我把两种想法板书在黑板上：
借助上面的板书，学生轻松地理解了替换方法的思路，抽象出：利用两种杯子之间的倍数关系，把两种不同规格的杯子统一成一种规格，虽然替换方式不同，但是替换后的总量不变。
策略二：引入字母，给表达一个着力点。小学生的反思能力和语言表达能力尚不够成熟，把自己的思路、想法用语言清晰、准确地表达出来是有一定难度的。字母是对数的抽象，用字母表示数，可以给学生一个表达的着力点。
如，在教学“表面积的变化”中，有这样一个环节：
学生通过动手操作、观察交流和充分感悟，轻松地填对了表格中的数据。但是让他们说一说“从表中发现了什么规律”时，很多学生感觉是茶壶里煮饺子——有嘴倒不出。怎样才能让学生准确地表达呢？我在省略号的后面板书了一个字母a，并追问：“如果是a个正方体，你能填写出下面的表格吗？”学生写出了6a和2×（a-1）之后，再让学生说一说发现的规律，学生轻松地说出：“a个正方体，一共有6a个面，拼成一个长方体后，有（a-1）个交界，每个交界有两个面，因此一共减少了2×（a-1）个面。”有了字母的帮助，学生表达起来更加清晰，对表面积的变化规律也形成了抽象概括的认识。
策略三：巧设练习，让抽象概括水到渠成。有具体问题、具体数据存在，学生就会对其产生依赖。把具体问题中的数据逐一省略，反而可以促使学生有效地进行抽象概括。
例如教学“分数的意义”，由于需要抽象的概念太多，如“单位‘1’”、“平均分”、“若干份”、“1份或几份”，要求学生清晰、准确、完整地抽象概括是比较困难的。怎样让学生在充分感知的基础上实现抽象概括呢？我设计了这样一道练习题：
说一说下面每个分数的意义。
第一个，学生很容易说出：“把单位1平均分成3份，表示这样的2份，用表示。”第二个分数，省略了分母，学生在思考的基础上自然而然说出了“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的1份，用 表示”。第三个分数，省略了分子，学生有了表达第二个分数的经验，也能轻松地概括出“把单位‘1’平均分成7份，表示这样的1份或几份，用表示”。最后一个分数，省略了分子和分母，学生也就水到渠成地概括出分数的完整概念：“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的1份或几份，用分数表示”。
引导学生有效地进行抽象概括，既要关注学生是否获得了充分的感性经验，又要采取一些巧妙的策略，帮助学生迈过“抽象概括过程”中的一道道“坎”，从而逐步提升学生的抽象概括能力。
作者单位
江苏省铜山县三堡实验小学
◇责任编辑：曹文◇
一、感性经验——抽象概括的基石
感知即感觉和知觉，是人们认识活动的初级阶段，是抽象概括的基石。充分的感知可以帮助学生获得大量的感性材料，为学生进行有效的抽象概括创造条件。
1?郾丰富感知素材。抽象概括的过程实际上是举“三”反“一”的过程，感知材料越丰富，越具有全面性、典型性，越有利于学生进行准确的抽象概括。
策略一：把概念置于其生成的背景。我们对数与形的认识不是孤立的，如果把认知对象置于其所处背景之中，或者借助与之相似概念的沟通，与之相对概念的对比，就更容易获得清晰、准确、全面的认识。
例如教学“倒数的认识”，可以出示下面一组算式：
先让学生算一算这些算式的结果，学生很容易发现它们的得数都是1。接着让学生把这些得数是1的算式分一分类，学生可能按照参与计算的数字的个数来分，也可能按照运算符号来分。第一种分法可以把以上算式分为两类：三个数参与计算的为第一类；其余算式为第二类。第二种分法，把第一种分法中的第二类算式分为四小类：相乘：×3，×，2×，×；相加：+；相减：3?郾5-2?郾5；相除：3÷3。在两次分类的基础上，教师指出：乘积是1的两个数互为倒数。让学生从得数为1的各类算式中抽取出两个数相乘乘积是1的算式。这样教学，将倒数的概念置于其生成的背景，层层递进，学生对倒数概念中的两个内涵：“乘积是1”和“两个数”的理解就比较透彻了。
策略二：借助相对（或相邻）概念间的对比强化感知。我们对某一概念的认识，并不一定都要从这个概念本身出发。当局限于概念本身的范围理解概念很难走向深入时，不妨借助相邻或者是相对概念的对比来理解此概念。
如，教学“用分数表示可能性的大小”一课，教材首先出示的是下面的情境图：
教学时，学生都认为猜左右的方法是公平的，但给出的理由是不充分的——乒乓球可能在左手，也可能在右手，只有这样两种可能，因此这种做法是公平的。学生仅仅看到了“只有两种可能”，并没有感受到“两种可能性的大小是相等的”。怎样强化学生的第二种感受？我又采取了另外一种决定发球权的方法：把一只鸡毛毽抛上去，底盘着地A发球，鸡毛着地B发球。这种方法公平吗？学生说不公平，因为鸡毛着地可能性几乎没有。借助这样一个相反的情境，学生对 表示某种事件发生的可能性有了全面的感知：不仅要关注有几种可能，还要关注这几种可能的大小是否相等。而单纯依赖教材提供的情境，学生很难获得深入的感受。
2?郾强化感性经验。受年龄的限制，小学生对事物的认知往往具有以下特点：（1）笼统。缺少精细的分析，粗枝大叶。（2）无意识。对强信息因素感知强烈，对背景信息容易忽视，感知过程多是杂乱无章，缺少顺序性。（3）被动。不能有意识地从解决问题的需要出发有目的地感知，往往被引起和激发他们兴趣的事物所干扰。由此可见，教师呈现感知素材时，不一定依赖教材的编排方式，可以根据儿童的感知特点，灵活变化学习素材的呈现方式，使学生更加容易关注学习素材中的关键要素，并做到有意识、有顺序、有重点地感知，从而强化感性经验。
策略三：重点内容强化刺激。需要学生看得清、听得细的内容，其刺激必须达到一定强度。在通常情况下，我们可以借助清晰的、有条理的板书和抑扬顿挫的语气等方式强调重点内容，使学生把注意力集中在概念的本质要素上，从而帮助学生有效地进行抽象概括。
例如，教学“分数的初步认识”有这样一道练习题：
学生用分数正确表示出每个图里的涂色部分后，我说：“同学们仔细看一看这些图与它们相对应的分数，边读边体会每个数所表示的意义。再想一想，，，这些分数都有什么共同点，都表示什么意义。”由于有了刚才写一写、看一看、读一读的强烈刺激，学生很轻松地说出：“它们都是把一个图形平均分成几份，表示其中的一份，都可以用几分之一来表示。”如果在学生写完分数之后就急于进行抽象概括，而没有读一读的强烈刺激，他们是不可能有深刻体验的。
策略四：教学过程动态化处理。教材受各方面因素的影响，不可能完整地展示知识形成的全部过程，往往只是静态地唤起学生的思考进行理解性的学习。但是静态的东西一般比较呆板，很难吸引学生的注意力，更不利于把学生的注意力集中在研究概念的本质属性上。因此，教师应把静态的素材和单调的学习过程动态化，帮助学生获得深刻的体验。
例如教学“大约几时”，教材呈现的是：
按照教材呈现的内容按部就班地教学，学生对“大约7时”的理解是机械的、静态的，不利于学生主动构建认知结构。于是，我创设了这样的问题情境：小明和小刚约定上午9时到图书馆看书。接着多媒体出示一个动态演示的钟面：指针不停地走动，快到9时的时候，小刚来到了。我问学生：“小刚迟到了吗？”学生说：“没有。”我接着问：“你是怎样看出来的？”学生说：“时针接近9时，分针快到12了，说明9时还不到。”当学生理解了“9时还不到”之后，指针接着走，刚过9时，我问学生：“小刚迟到了吗？”学生说：“迟到了。”我接着问：“你是怎样看出来的？”学生说：“时针刚过9，分针刚过12，说明9时刚过。”在此基础上，我揭示：“9时还不到与9时刚过，都非常接近9时，接近9时可以说是大约9时。”借助动态展示情境，学生对“大约9时”的认识也就变得鲜活而准确了。
二、巧妙引导——抽象概括的法宝
小学生正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，抽象概括对他们来说是认知能力的一次飞跃，也是学习过程中的一个难点。有了丰富的感性认识，也只是为学生进行有效的抽象概括提供了可能。对于学生来说，普遍存在的困惑是：脑中有思路，心中有想法，口中有话说，就是难以全面、清晰、准确地进行表达。这个阶段，需要教师采取一些相关策略，帮助学生进行有效的抽象概括。
策略一：妙用板书，给思维一个支撑点。学生对新知的探究过程，如同在一个陌生的城市寻找通往目的地的道路，他们更多的是关注目前所处的位置。随着探究的不断深入，学生仅仅是对当下的经验感受比较强烈，而对于最初获得的感性经验可能会逐渐淡化。要让学生在探究之后还能准确地把握整个探究过程，教师的板书是非常重要的。板书就像我们“找路”过程中的“标志性建筑”，可以帮助我们清晰地回忆整个探究过程，从而获得抽象认识。
例如，教学“解决问题的策略——替换”。例1是：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？通过想一想、画一画、说一说等活动，学生自主探究出两种方式（1）把大杯替换成小杯，用720÷（6+3）=80（毫升）求出小杯的容量，再用80×3=240（毫升）求出大杯的容量。（2）把小杯替换成大杯，用720÷（1+2）=240（毫升）求出大杯的容量，再用240÷3=80（毫升）求出小杯的容量。学生汇报时，我把两种想法板书在黑板上：
借助上面的板书，学生轻松地理解了替换方法的思路，抽象出：利用两种杯子之间的倍数关系，把两种不同规格的杯子统一成一种规格，虽然替换方式不同，但是替换后的总量不变。
策略二：引入字母，给表达一个着力点。小学生的反思能力和语言表达能力尚不够成熟，把自己的思路、想法用语言清晰、准确地表达出来是有一定难度的。字母是对数的抽象，用字母表示数，可以给学生一个表达的着力点。
如，在教学“表面积的变化”中，有这样一个环节：
学生通过动手操作、观察交流和充分感悟，轻松地填对了表格中的数据。但是让他们说一说“从表中发现了什么规律”时，很多学生感觉是茶壶里煮饺子——有嘴倒不出。怎样才能让学生准确地表达呢？我在省略号的后面板书了一个字母a，并追问：“如果是a个正方体，你能填写出下面的表格吗？”学生写出了6a和2×（a-1）之后，再让学生说一说发现的规律，学生轻松地说出：“a个正方体，一共有6a个面，拼成一个长方体后，有（a-1）个交界，每个交界有两个面，因此一共减少了2×（a-1）个面。”有了字母的帮助，学生表达起来更加清晰，对表面积的变化规律也形成了抽象概括的认识。
策略三：巧设练习，让抽象概括水到渠成。有具体问题、具体数据存在，学生就会对其产生依赖。把具体问题中的数据逐一省略，反而可以促使学生有效地进行抽象概括。
例如教学“分数的意义”，由于需要抽象的概念太多，如“单位‘1’”、“平均分”、“若干份”、“1份或几份”，要求学生清晰、准确、完整地抽象概括是比较困难的。怎样让学生在充分感知的基础上实现抽象概括呢？我设计了这样一道练习题：
说一说下面每个分数的意义。
第一个，学生很容易说出：“把单位1平均分成3份，表示这样的2份，用表示。”第二个分数，省略了分母，学生在思考的基础上自然而然说出了“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的1份，用 表示”。第三个分数，省略了分子，学生有了表达第二个分数的经验，也能轻松地概括出“把单位‘1’平均分成7份，表示这样的1份或几份，用表示”。最后一个分数，省略了分子和分母，学生也就水到渠成地概括出分数的完整概念：“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的1份或几份，用分数表示”。
引导学生有效地进行抽象概括，既要关注学生是否获得了充分的感性经验，又要采取一些巧妙的策略，帮助学生迈过“抽象概括过程”中的一道道“坎”，从而逐步提升学生的抽象概括能力。
作者单位
江苏省铜山县三堡实验小学
◇责任编辑：曹文◇