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【关键词】横向数学化；教学思辨；效度重构；教学启示；简单的周期
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）44-0063-02
【作者简介】1.臧亚丽，江苏省常州市新北区新华实验小学（江苏常州，213127），一级教师；2.姚建法，江苏省常州市新北区新华实验小学（江苏常州，213127）副校长，高级教师，常州市数学学科带头人，常州市数学教师基本功竞赛一等奖获得者。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：可以把数学当成一种活动，“数学化”是实施这个活动的方式，也是这个活动的目的。“数学化”可以分为两类：第一类是“横向数学化”，注重把生活世界引向数学的符号世界，将现实情境引向数学体系，建立两者间的联系；第二类是“纵向数学化”，注重在数学符号的世界里，在数学体系内部，实现抽象符号的生成、变换、重塑与应用。
在教学中，教师往往会为学生创设丰富的生活情境，并从中剥离抽象出数学学习内容，实施从生活到数学的跨越。教师需要思考的是，这种“横向数学化”的过程是否科学合理，是否符合学情，是否能提高学生正确感知学习内容的效度。下面以苏教版四上《简单的周期》一课的教学实践为例，谈谈笔者对“横向数学化”的一些思考，与大家交流和探讨。
一、教学尝试：舍弃教材例图，使用学生珠串
在三年级上学期，学生已经接触过图形规律，探索过“一一间隔排列”的规律，对探索形象直观的规律积累了一定的经验。小学生对于珠串手工活动比较感兴趣，于是，教师前期布置学生串一串或几串“你认为具有数学特点的珠串”，发现相当一部分学生根据已有经验与认识，串出了具有“数学味”的珠串。因此，教师舍弃了教材例题图，改用学生的珠串作品进行了以下教学尝试：
1.PPT呈现珠串作品，学生欣赏并交流从中发现的数学现象。
师：下面这两串珠串（如图1）的排列有什么共同特点？先独立观察，再在小组里说一说。
生1：它们都是重复出现的。
生2：第一幅是蓝珠、粉五星、蓝珠、绿花，再蓝珠、粉五星、蓝珠、绿花，再蓝珠、粉五星、蓝珠……第二幅是黑珠、紫五星、白珠、紫五星，再黑珠、紫五星、白珠、紫五星……
师小结：这两串珠串都是一组一组重复出现的。（板书：一组一组重复出现）
师：你有什么办法能让我们把一组一组看得更清晰吗？
生3：串珠串的时候把它们一组一组适当分开一些，比如这样……（该生上台摆一摆）
生4：在图上可以画线隔开。（该生上台画一画）
生5：还可以圈一圈。
师追问：请大家再仔细观察一下，每一组里面珠串的排列顺序是怎样的？
生6：每一组的排列顺序都是相同的。
师提炼并板书：同一事物依次重复出现的现象叫作周期现象。我们今天就一起来学习《简单的周期》。
2.练习。教师课件展示学生珠串作品的照片（如图2），让学生判断其中的珠串是否具有周期现象，具有周期现象的打“√”，不具有周期现象的打“×”。
实物投影学生作品，重点选择两张照片交流：
①为什么这个珠串打“×”？可以怎样调整使其具有周期性？
②这个珠串打“√”，你能说出其中的周期规律吗？
3.活动。继续看图，图上的珠串是按照怎样的顺序排列的？用你喜欢的方式记录下来，可以用语言，也可以用图形符号。
…………
二、“横向数学化”视角下的思辨
教师设计珠串这一教学环节，是想引导学生经历“横向数学化”的过程，对简单的周期规律获得正确的感知。然而，这样的教学设计真的更贴近学生、更容易让学生感知其中的周期规律吗？
从教学反应来看，学生虽然已经能串出具有数学特色的珠串，并能从中发现一些数学规律，但由于珠串形状繁多（星形、球形、心形等），大小各异，颜色又多种多样，势必导致学生观察它的特征时受到多重无效影响。除此之外，男生对珠串的兴趣远低于女生；有些珠串只有两三组，组数较少，不利于学生发现规律，而且珠串个数较少，是有限的，不利于学生对个数较多甚至个数无限形成更好的感知。
反观教材呈现的情境图（如图3），由近到远依次是盆花、彩灯、彩旗，它们有规律地摆放着，且从左往右看隐喻着个数的无限或不确定性。摆放的顺序（即周期规律）聚焦于颜色，简洁、清爽、醒目，便于学生看出来，利于学生说出来。教材设问：盆花、彩灯、彩旗的排列有什么共同特点？意在引导学生关注这些物体的排列，寻找它们排列的共同点。学生通过仔细观察与比较，可以体会到“盆花、彩灯、彩旗的排列都是有规律的”“三种物体都是一组一组地排列的”“同一种物体中，每组的排列完全相同”。学生获得的这些体会与认知，就是对简单周期现象的初步感受。
可见，引例素材的选择，不能只考虑学生的已有经验，而应围绕相关学习内容，挖掘其核心的本质要素，为学生的探索作清晰简明的素材准备。
三、“横向数学化”的效度重构与教学启示
教学规律探索课，教师应深入分析教材例题蕴藏的体现教学内容的核心要素，为学生提供合适的引例，给予他们充分的时间与空间，让他们观察、交流与讨论，逐步明晰引例中隐含的内在规律。如果仍要用珠串作为引例，就要精简珠串的形与色，或形同色不同，或色同形不同，还要有“无限”的痕迹体现，比如在出示的学生作品图的后面加上“……”，便于数学化的横向演进。
另外，笔者注意到，教材中对于“周期现象”的概念揭示，是在学生探究完盆花、彩灯、彩旗的排列规律，并能正确推理出第几个是哪种颜色之后。“同一事物”“依次重复出现”这些“高效能”的数学化用词出现略显滞后，不利于学生表达规律。而上述案例中，教师以珠串作引例揭示数学概念又显过早，不利于学生充分感知与体验。因此，可以調整为在学生判断其他珠串是否也有这种规律后再揭示概念。随后，可以补充一个教学环节——举例生活中的周期现象，实现“生活数学化”与“数学生活化”的双向关联，使学生更加高效地经历与体悟“横向数学化”的过程，也为后面“纵向数学化”的符号化表达与应用提供有力的平台支撑。
综上所述，要有效地实现“横向数学化”，笔者认为，教师应做到以下几点：一是对选用的例题素材进行筛选与优化，要彰显教学内容的基本要素；二是合理把握概念揭示的时机；三是注重原生态资源对数学化过程的层次推进；四是关注全体学生的情感调度，让现实情境适合每一位学生。只有这样，才能更好地体现教材味、学生味、数学味，提升“横向数学化”的效度。
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）44-0063-02
【作者简介】1.臧亚丽，江苏省常州市新北区新华实验小学（江苏常州，213127），一级教师；2.姚建法，江苏省常州市新北区新华实验小学（江苏常州，213127）副校长，高级教师，常州市数学学科带头人，常州市数学教师基本功竞赛一等奖获得者。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：可以把数学当成一种活动，“数学化”是实施这个活动的方式，也是这个活动的目的。“数学化”可以分为两类：第一类是“横向数学化”，注重把生活世界引向数学的符号世界，将现实情境引向数学体系，建立两者间的联系；第二类是“纵向数学化”，注重在数学符号的世界里，在数学体系内部，实现抽象符号的生成、变换、重塑与应用。
在教学中，教师往往会为学生创设丰富的生活情境，并从中剥离抽象出数学学习内容，实施从生活到数学的跨越。教师需要思考的是，这种“横向数学化”的过程是否科学合理，是否符合学情，是否能提高学生正确感知学习内容的效度。下面以苏教版四上《简单的周期》一课的教学实践为例，谈谈笔者对“横向数学化”的一些思考，与大家交流和探讨。
一、教学尝试：舍弃教材例图，使用学生珠串
在三年级上学期，学生已经接触过图形规律，探索过“一一间隔排列”的规律，对探索形象直观的规律积累了一定的经验。小学生对于珠串手工活动比较感兴趣，于是，教师前期布置学生串一串或几串“你认为具有数学特点的珠串”，发现相当一部分学生根据已有经验与认识，串出了具有“数学味”的珠串。因此，教师舍弃了教材例题图，改用学生的珠串作品进行了以下教学尝试：
1.PPT呈现珠串作品，学生欣赏并交流从中发现的数学现象。
师：下面这两串珠串（如图1）的排列有什么共同特点？先独立观察，再在小组里说一说。
生1：它们都是重复出现的。
生2：第一幅是蓝珠、粉五星、蓝珠、绿花，再蓝珠、粉五星、蓝珠、绿花，再蓝珠、粉五星、蓝珠……第二幅是黑珠、紫五星、白珠、紫五星，再黑珠、紫五星、白珠、紫五星……
师小结：这两串珠串都是一组一组重复出现的。（板书：一组一组重复出现）
师：你有什么办法能让我们把一组一组看得更清晰吗？
生3：串珠串的时候把它们一组一组适当分开一些，比如这样……（该生上台摆一摆）
生4：在图上可以画线隔开。（该生上台画一画）
生5：还可以圈一圈。
师追问：请大家再仔细观察一下，每一组里面珠串的排列顺序是怎样的？
生6：每一组的排列顺序都是相同的。
师提炼并板书：同一事物依次重复出现的现象叫作周期现象。我们今天就一起来学习《简单的周期》。
2.练习。教师课件展示学生珠串作品的照片（如图2），让学生判断其中的珠串是否具有周期现象，具有周期现象的打“√”，不具有周期现象的打“×”。
实物投影学生作品，重点选择两张照片交流：
①为什么这个珠串打“×”？可以怎样调整使其具有周期性？
②这个珠串打“√”，你能说出其中的周期规律吗？
3.活动。继续看图，图上的珠串是按照怎样的顺序排列的？用你喜欢的方式记录下来，可以用语言，也可以用图形符号。
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二、“横向数学化”视角下的思辨
教师设计珠串这一教学环节，是想引导学生经历“横向数学化”的过程，对简单的周期规律获得正确的感知。然而，这样的教学设计真的更贴近学生、更容易让学生感知其中的周期规律吗？
从教学反应来看，学生虽然已经能串出具有数学特色的珠串，并能从中发现一些数学规律，但由于珠串形状繁多（星形、球形、心形等），大小各异，颜色又多种多样，势必导致学生观察它的特征时受到多重无效影响。除此之外，男生对珠串的兴趣远低于女生；有些珠串只有两三组，组数较少，不利于学生发现规律，而且珠串个数较少，是有限的，不利于学生对个数较多甚至个数无限形成更好的感知。
反观教材呈现的情境图（如图3），由近到远依次是盆花、彩灯、彩旗，它们有规律地摆放着，且从左往右看隐喻着个数的无限或不确定性。摆放的顺序（即周期规律）聚焦于颜色，简洁、清爽、醒目，便于学生看出来，利于学生说出来。教材设问：盆花、彩灯、彩旗的排列有什么共同特点？意在引导学生关注这些物体的排列，寻找它们排列的共同点。学生通过仔细观察与比较，可以体会到“盆花、彩灯、彩旗的排列都是有规律的”“三种物体都是一组一组地排列的”“同一种物体中，每组的排列完全相同”。学生获得的这些体会与认知，就是对简单周期现象的初步感受。
可见，引例素材的选择，不能只考虑学生的已有经验，而应围绕相关学习内容，挖掘其核心的本质要素，为学生的探索作清晰简明的素材准备。
三、“横向数学化”的效度重构与教学启示
教学规律探索课，教师应深入分析教材例题蕴藏的体现教学内容的核心要素，为学生提供合适的引例，给予他们充分的时间与空间，让他们观察、交流与讨论，逐步明晰引例中隐含的内在规律。如果仍要用珠串作为引例，就要精简珠串的形与色，或形同色不同，或色同形不同，还要有“无限”的痕迹体现，比如在出示的学生作品图的后面加上“……”，便于数学化的横向演进。
另外，笔者注意到，教材中对于“周期现象”的概念揭示，是在学生探究完盆花、彩灯、彩旗的排列规律，并能正确推理出第几个是哪种颜色之后。“同一事物”“依次重复出现”这些“高效能”的数学化用词出现略显滞后，不利于学生表达规律。而上述案例中，教师以珠串作引例揭示数学概念又显过早，不利于学生充分感知与体验。因此，可以調整为在学生判断其他珠串是否也有这种规律后再揭示概念。随后，可以补充一个教学环节——举例生活中的周期现象，实现“生活数学化”与“数学生活化”的双向关联，使学生更加高效地经历与体悟“横向数学化”的过程，也为后面“纵向数学化”的符号化表达与应用提供有力的平台支撑。
综上所述，要有效地实现“横向数学化”，笔者认为，教师应做到以下几点：一是对选用的例题素材进行筛选与优化，要彰显教学内容的基本要素；二是合理把握概念揭示的时机；三是注重原生态资源对数学化过程的层次推进；四是关注全体学生的情感调度，让现实情境适合每一位学生。只有这样，才能更好地体现教材味、学生味、数学味，提升“横向数学化”的效度。