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【摘要】本文主要从悖论出发，根据白马非马的悖论来引申出概念的内涵与外延，说明概念内涵与外延是概念的两个重要因素，指出内涵与外延的区别与联系，阐述了中学数学概念教学的主要过程.
【关键词】悖论;数学概念;内涵;外延
一、悖论——白马非马
对悖论的说明，布莱克本指出：“当一组看起来毫无争议的前提产生了不可接受或自相矛盾的结论时，悖论出现了.解决一个悖论将牵涉到：或者证明前提中存在隐藏的缺陷，或者表明推理包含错误，或者表明看起来不可接受的结论事实上是可以容忍的.”
在战国时期，以名家为主要代表，提出了悖论的早期形式，他们注重分析名词与概念的差异.公孙龙，先秦名家，“离坚白”派的代表人物，提出了白马论，即白马非马.
二、白马非马的三点论证
对此悖论，公孙龙分别从三点来论证此命题：
第一点，从内涵不同论证，强调的是“马”“白”“白马”内涵不同，“白”是一种颜色，“马”是一种动物，“白马”是一种颜色加一种动物，三者内涵完全不同，因此，不能画等号.
第二点，从外延不同来论证，强调的是“马”“白马”外延的不同.“马”的外延是所有的马，不管是黄马、黑马，都是马，“白马”的外延是只有白色的马.
第三点，从本质不同来论证，强调的是“马”“白马”属性不同，马的一切本质属性与白马不同.
三、概念的内涵与外延
从公孙龙的三点论证，可以看出是由于概念的内涵与外延混淆造成的.
先从概念的角度出发，概念的内涵与外延是概念的基本特征，也是准确把握概念的基础.概念的内涵是所反映的事物的本质属性的总和，它说明概念所反映的对象是什么样的，是对概念质的规定;概念的外延是概念所反映的事物的总和，它说明概念所反映的对象有哪些，是对概念量的解释.
举下面的例子加以说明.
等边三角形的內涵：三角形、三条边相等、三个内角相等;三角形的外延：等腰三角形、等边三角形等.
一元二次函数的内涵：函数，只有一个未知数，未知数的最高次数是2次;函数的外延：正比例函数、反比例函数、一元二次函数等.
不仅要明确概念内涵与外延的区别，还要准确把握内涵与外延的联系.比如，三角形的内涵比等边三角形的内涵少，而外延比等边三角形多;一元二次函数的内涵比函数的多，而外延比函数的少.我们可以看出概念的内涵与外延大体呈现反比的关系.
四、数学概念的限制
内涵与外延是概念的两个重要方面，对概念下定义时要严格遵守以下两个原则：
1.正确的限制必须按照概念的种类逐级进行.外延大的概念包含着外延小的概念;
2.限制必须适度，否则容易产生混淆的概念.
在数学学科体系中，每一个数学概念都有明确的内容，主要是采用下定义的方法去揭示内涵，有三种：属加种差定义法、揭示外延定义法、描述性定义法.它具有高度的抽象性与概括性，不仅自身具有逻辑性，还存在着一定的联系.数学概念的发展是一个循序渐进的过程，随着数学的发展，数学概念也在不断地完善.
五、数学概念教学的主要过程
通过对内涵与外延的描述，教师在进行概念教学时，可以通过以下几个过程进行：
（一）概念的引入
良好的开始是成功的一半，通过数学文化引入概念，讲解有关概念的由来，以及中西方文化对数学概念定义的不同.
比如，勾股定理的教学.在中国古代，勾股定理又称为勾股术，在《周髀算经》中就有关于勾股术的详细记载，“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日.”而在国外，认为勾股定理的最早发现者是毕达哥拉斯，因此，将勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.这就是数学概念在中西方文化方面的差异.
（二）概念的理解
理解概念是概念教学的基础，主要是指理解概念的内涵与外延.对一个数学概念，不仅仅只是要理解它本身的概念，还要通过它本身与其他概念的联系来进行理解.比如，在学习菱形概念时，将菱形与平行四边形相联系，找出二者内涵与外延的异同，进行比较，帮助学生更准确地把握概念.
（三）概念的同化
同化概念是概念教学的中心.同化是指将新概念与认知结构中已有的概念联系起来，区别出新旧概念的区别，最终将新概念融入原有的认知结构中，从而形成新的认知结构.
比如，在学习了三角形之后，再学习等边三角形，认知结构中已经有了三角形的内涵，在三角形内涵的基础上增加三条边、三个角分别相等的条件，同时减少三角形的外延.将新的内涵与外延融入已有的认知结构中，形成新的认知结构.
（四）概念的巩固
同化概念之后，对概念进行巩固.在中学数学课堂中，主要是做习题，讲解有关概念题型的步骤.在课下，布置相应的练习题，让学生通过练习题充分地理解、巩固概念.
（五）概念建构
概念的建构是对概念同化的升华.概念具有逻辑性，学生对数学概念进行同化之后，根据数学概念的内涵与外延之间的逻辑联系建立数学概念体系.在这里，可以采用列图表的方法来帮助学生明确各个概念之间内涵与外延的联系，从而帮助学生加强对概念的建构，培养学生主动构建的意识.
（六）教学反思
教学结束之后，进行适当的反思并记录在教案本上.概念的内涵与外延是否明确？概念教学中的数学思想是否有渗透？是否启发学生理解这种思想？概念是否与学生已有认知结构相联系，建立起数学概念体系？教师要把握好课程改革的新方向，在概念教学中渗透核心素养，增强反思意识.
六、小 结
对数学概念的教学，教师需要做的是在进行教学时，帮助学生完整地理解概念，并将概念同化到学生已有的认知结构中，加强对概念的建构，培养主动建构的意识.在教学中渗透核心素养，尤其是数学抽象、数学建模.
【参考文献】
[1]徐娟静.探讨初中数学概念教学途径[D].武汉：华中师范大学，2018.
[2]王华强.初中数学概念教学策略研究[D].聊城：聊城大学，2017.
[3]卢仲学.高中数学概念教学模式研究[D].兰州：西北师范大学，2007.
[4]戴海林.关于数学概念教学的反思模式研究[D].长春：东北师范大学，2008.
【关键词】悖论;数学概念;内涵;外延
一、悖论——白马非马
对悖论的说明，布莱克本指出：“当一组看起来毫无争议的前提产生了不可接受或自相矛盾的结论时，悖论出现了.解决一个悖论将牵涉到：或者证明前提中存在隐藏的缺陷，或者表明推理包含错误，或者表明看起来不可接受的结论事实上是可以容忍的.”
在战国时期，以名家为主要代表，提出了悖论的早期形式，他们注重分析名词与概念的差异.公孙龙，先秦名家，“离坚白”派的代表人物，提出了白马论，即白马非马.
二、白马非马的三点论证
对此悖论，公孙龙分别从三点来论证此命题：
第一点，从内涵不同论证，强调的是“马”“白”“白马”内涵不同，“白”是一种颜色，“马”是一种动物，“白马”是一种颜色加一种动物，三者内涵完全不同，因此，不能画等号.
第二点，从外延不同来论证，强调的是“马”“白马”外延的不同.“马”的外延是所有的马，不管是黄马、黑马，都是马，“白马”的外延是只有白色的马.
第三点，从本质不同来论证，强调的是“马”“白马”属性不同，马的一切本质属性与白马不同.
三、概念的内涵与外延
从公孙龙的三点论证，可以看出是由于概念的内涵与外延混淆造成的.
先从概念的角度出发，概念的内涵与外延是概念的基本特征，也是准确把握概念的基础.概念的内涵是所反映的事物的本质属性的总和，它说明概念所反映的对象是什么样的，是对概念质的规定;概念的外延是概念所反映的事物的总和，它说明概念所反映的对象有哪些，是对概念量的解释.
举下面的例子加以说明.
等边三角形的內涵：三角形、三条边相等、三个内角相等;三角形的外延：等腰三角形、等边三角形等.
一元二次函数的内涵：函数，只有一个未知数，未知数的最高次数是2次;函数的外延：正比例函数、反比例函数、一元二次函数等.
不仅要明确概念内涵与外延的区别，还要准确把握内涵与外延的联系.比如，三角形的内涵比等边三角形的内涵少，而外延比等边三角形多;一元二次函数的内涵比函数的多，而外延比函数的少.我们可以看出概念的内涵与外延大体呈现反比的关系.
四、数学概念的限制
内涵与外延是概念的两个重要方面，对概念下定义时要严格遵守以下两个原则：
1.正确的限制必须按照概念的种类逐级进行.外延大的概念包含着外延小的概念;
2.限制必须适度，否则容易产生混淆的概念.
在数学学科体系中，每一个数学概念都有明确的内容，主要是采用下定义的方法去揭示内涵，有三种：属加种差定义法、揭示外延定义法、描述性定义法.它具有高度的抽象性与概括性，不仅自身具有逻辑性，还存在着一定的联系.数学概念的发展是一个循序渐进的过程，随着数学的发展，数学概念也在不断地完善.
五、数学概念教学的主要过程
通过对内涵与外延的描述，教师在进行概念教学时，可以通过以下几个过程进行：
（一）概念的引入
良好的开始是成功的一半，通过数学文化引入概念，讲解有关概念的由来，以及中西方文化对数学概念定义的不同.
比如，勾股定理的教学.在中国古代，勾股定理又称为勾股术，在《周髀算经》中就有关于勾股术的详细记载，“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日.”而在国外，认为勾股定理的最早发现者是毕达哥拉斯，因此，将勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.这就是数学概念在中西方文化方面的差异.
（二）概念的理解
理解概念是概念教学的基础，主要是指理解概念的内涵与外延.对一个数学概念，不仅仅只是要理解它本身的概念，还要通过它本身与其他概念的联系来进行理解.比如，在学习菱形概念时，将菱形与平行四边形相联系，找出二者内涵与外延的异同，进行比较，帮助学生更准确地把握概念.
（三）概念的同化
同化概念是概念教学的中心.同化是指将新概念与认知结构中已有的概念联系起来，区别出新旧概念的区别，最终将新概念融入原有的认知结构中，从而形成新的认知结构.
比如，在学习了三角形之后，再学习等边三角形，认知结构中已经有了三角形的内涵，在三角形内涵的基础上增加三条边、三个角分别相等的条件，同时减少三角形的外延.将新的内涵与外延融入已有的认知结构中，形成新的认知结构.
（四）概念的巩固
同化概念之后，对概念进行巩固.在中学数学课堂中，主要是做习题，讲解有关概念题型的步骤.在课下，布置相应的练习题，让学生通过练习题充分地理解、巩固概念.
（五）概念建构
概念的建构是对概念同化的升华.概念具有逻辑性，学生对数学概念进行同化之后，根据数学概念的内涵与外延之间的逻辑联系建立数学概念体系.在这里，可以采用列图表的方法来帮助学生明确各个概念之间内涵与外延的联系，从而帮助学生加强对概念的建构，培养学生主动构建的意识.
（六）教学反思
教学结束之后，进行适当的反思并记录在教案本上.概念的内涵与外延是否明确？概念教学中的数学思想是否有渗透？是否启发学生理解这种思想？概念是否与学生已有认知结构相联系，建立起数学概念体系？教师要把握好课程改革的新方向，在概念教学中渗透核心素养，增强反思意识.
六、小 结
对数学概念的教学，教师需要做的是在进行教学时，帮助学生完整地理解概念，并将概念同化到学生已有的认知结构中，加强对概念的建构，培养主动建构的意识.在教学中渗透核心素养，尤其是数学抽象、数学建模.
【参考文献】
[1]徐娟静.探讨初中数学概念教学途径[D].武汉：华中师范大学，2018.
[2]王华强.初中数学概念教学策略研究[D].聊城：聊城大学，2017.
[3]卢仲学.高中数学概念教学模式研究[D].兰州：西北师范大学，2007.
[4]戴海林.关于数学概念教学的反思模式研究[D].长春：东北师范大学，2008.