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数学实验就是为了探索数学知识、检验数学结论(或假设)而进行的某种操作或思维活动。它是引导学生分析问题、解决问题的有效途径。从教学的实践来看,数学实验可以启发学生的思维,提高解题的效率,起到“事半功倍”的效果。
一、通过数学实验直接解决复杂的问题
在近几年的中考命题中,有一类立体几何题,如果单凭想象,解题者有可能进入误区,从而影响考试的时间,而通过数学实验,就能轻而易举的获得问题的答案。
例1把立方体的六个面分别涂上六种不同颜色,并画上朵数不等的花,各面上的颜色与花的朵数情况列表如下:
现将上述大小相同,颜色花朵完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体,那么长方体的下底面共有花的朵数是( )
A.18B.17 C.16D.15
分析:我们只要用一块橡皮,先在三个面上写上红、黄、蓝,然后按照长方体放置的位置再找到白、紫,最后一面就是绿,把写上颜色的橡皮重新如图放置,马上就能判断出下底面分别是紫、黄、绿、白(从左往右),故可得答案B。
二、通过数学实验分析问题中的数量关系
在分析问题的过程中,通过数学实验,能把抽象的问题直观化,把复杂的问题简单化,从而更易于探求问题中的数量关系。
例2 一根长30厘米、宽3厘米的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠。为了美观,希望折叠完成后两端超出点P的长度相等,则最初折叠时,MA的长度为( )
A 7.5厘米 B 9厘米
C 10.5厘米 D 12厘米
分析:在解这道题时,如果根据以上几个图形,很难找到确切的数量关系,而考虑数学实验,就大不一样了。我们只要准备一张长方形纸条,按照上述折叠并展开,可得下图,
设AP=BP1=x,由题意得PM=3, CP1=6, CM=6,
可得方程2x+3+6+6=30,
x=7.5
AM=AP+PM=7.5+3=10.5
所以选C
三、通过数学实验猜想结论,探求解决问题的突破口
在动点移动问题中,常常要求解题者先探索问题的答案,然后说明理由,其中理清变化的规律,猜想结论是问题的关键,通过数学实验能清楚看清整个运动过程,轻易猜出问题结论,从而找到解决问题的突破口。
例3把一把直角三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论。
(2)设A,P两点间的距离为x,当点P在线段AC上滑动时,△PCD是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCD成为等腰三角形的点Q的位置,并指出相应的x的值;如果不可能,试说明理由。
图1图2
分析:(1)我们用一把直角三角尺按照要求移动,在移动的过程中经过观察发现PB和PQ两条线段基本相等,特别是当P与A重合(那么Q与D重合),此时,PB、PQ分别等于AB和AD,由此猜想PQ=PB,而证明线段常用的方法是三角形全等,这样,整道题目的思路就非常清晰。证明如下:
过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,△AMP和△CNP都是等腰三角形(如圖1)。
∴NP=NC=MB,
∵∠BPQ=90°,∴∠QPN+∠BPM=90°。
而∠BPM+∠PBM=90°,
∴∠QPN=∠PBM,
又∵∠QNP=∠PMB=90°,
∴△QNP≌△PMB,∴PQ=PB。
(2)用同样的数学实验可以猜想△PCQ可能成为等腰三角形。
① 当点P与点A重合时,点Q与点D重合,这时PQ=QC,△PCQ是等腰三角形。此时x=0.
② 当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,△PCQ是等腰三角形(如图2)
四、通过数学实验可以探究规律
有一类剪、拼、旋、移问题同样是近年中考卷中的一个亮点,解决这类问题,有效的方法是数学实验,通过数学实验能轻松的探究出问题变化的规律和结果。
例4 将正方形纸片先上下对折,再左右对折称为一次操作,按上述规则完成n次操作后剪去所得小正方形的左下角,问展开这张正方形纸片后一共有多少个小洞?
分析:用一张正方形纸做实验,按规则操作,1次操作后,纸由1层变成4层,剪去所得正方形左下角,展开后有一个小洞。
2次操作后,纸变16=42层,剪去展开后有4=42-1个小洞;3次操作后,纸变43层,剪去展开后有16=43-1个小洞,按上述规律可以推断,完成n次操作后,纸变4n层,剪去展开后有4n-1个小洞。
综上所述,数学实验已经成为数学解题的新模式。通过数学实验,不但激发学生的创新思维,而且培养学生独立思考问题的能力和探究精神。所以我们在平时的教学中,要恰当的引入数学实验引导学生分析问题、解决问题。这样不仅有利于培养学生学数学、用数学的兴趣,更重要的是引导学生从传统数学的解题思维中解放出来,提高解题的效益,丰富解题的方法,从而达到以“不变应万变”、“出类旁通”的效果。
一、通过数学实验直接解决复杂的问题
在近几年的中考命题中,有一类立体几何题,如果单凭想象,解题者有可能进入误区,从而影响考试的时间,而通过数学实验,就能轻而易举的获得问题的答案。
例1把立方体的六个面分别涂上六种不同颜色,并画上朵数不等的花,各面上的颜色与花的朵数情况列表如下:
现将上述大小相同,颜色花朵完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体,那么长方体的下底面共有花的朵数是( )
A.18B.17 C.16D.15
分析:我们只要用一块橡皮,先在三个面上写上红、黄、蓝,然后按照长方体放置的位置再找到白、紫,最后一面就是绿,把写上颜色的橡皮重新如图放置,马上就能判断出下底面分别是紫、黄、绿、白(从左往右),故可得答案B。
二、通过数学实验分析问题中的数量关系
在分析问题的过程中,通过数学实验,能把抽象的问题直观化,把复杂的问题简单化,从而更易于探求问题中的数量关系。
例2 一根长30厘米、宽3厘米的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠。为了美观,希望折叠完成后两端超出点P的长度相等,则最初折叠时,MA的长度为( )
A 7.5厘米 B 9厘米
C 10.5厘米 D 12厘米
分析:在解这道题时,如果根据以上几个图形,很难找到确切的数量关系,而考虑数学实验,就大不一样了。我们只要准备一张长方形纸条,按照上述折叠并展开,可得下图,
设AP=BP1=x,由题意得PM=3, CP1=6, CM=6,
可得方程2x+3+6+6=30,
x=7.5
AM=AP+PM=7.5+3=10.5
所以选C
三、通过数学实验猜想结论,探求解决问题的突破口
在动点移动问题中,常常要求解题者先探索问题的答案,然后说明理由,其中理清变化的规律,猜想结论是问题的关键,通过数学实验能清楚看清整个运动过程,轻易猜出问题结论,从而找到解决问题的突破口。
例3把一把直角三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论。
(2)设A,P两点间的距离为x,当点P在线段AC上滑动时,△PCD是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCD成为等腰三角形的点Q的位置,并指出相应的x的值;如果不可能,试说明理由。
图1图2
分析:(1)我们用一把直角三角尺按照要求移动,在移动的过程中经过观察发现PB和PQ两条线段基本相等,特别是当P与A重合(那么Q与D重合),此时,PB、PQ分别等于AB和AD,由此猜想PQ=PB,而证明线段常用的方法是三角形全等,这样,整道题目的思路就非常清晰。证明如下:
过点P作MN∥BC,分别交AB于点M,交CD于点N,那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形,△AMP和△CNP都是等腰三角形(如圖1)。
∴NP=NC=MB,
∵∠BPQ=90°,∴∠QPN+∠BPM=90°。
而∠BPM+∠PBM=90°,
∴∠QPN=∠PBM,
又∵∠QNP=∠PMB=90°,
∴△QNP≌△PMB,∴PQ=PB。
(2)用同样的数学实验可以猜想△PCQ可能成为等腰三角形。
① 当点P与点A重合时,点Q与点D重合,这时PQ=QC,△PCQ是等腰三角形。此时x=0.
② 当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,△PCQ是等腰三角形(如图2)
四、通过数学实验可以探究规律
有一类剪、拼、旋、移问题同样是近年中考卷中的一个亮点,解决这类问题,有效的方法是数学实验,通过数学实验能轻松的探究出问题变化的规律和结果。
例4 将正方形纸片先上下对折,再左右对折称为一次操作,按上述规则完成n次操作后剪去所得小正方形的左下角,问展开这张正方形纸片后一共有多少个小洞?
分析:用一张正方形纸做实验,按规则操作,1次操作后,纸由1层变成4层,剪去所得正方形左下角,展开后有一个小洞。
2次操作后,纸变16=42层,剪去展开后有4=42-1个小洞;3次操作后,纸变43层,剪去展开后有16=43-1个小洞,按上述规律可以推断,完成n次操作后,纸变4n层,剪去展开后有4n-1个小洞。
综上所述,数学实验已经成为数学解题的新模式。通过数学实验,不但激发学生的创新思维,而且培养学生独立思考问题的能力和探究精神。所以我们在平时的教学中,要恰当的引入数学实验引导学生分析问题、解决问题。这样不仅有利于培养学生学数学、用数学的兴趣,更重要的是引导学生从传统数学的解题思维中解放出来,提高解题的效益,丰富解题的方法,从而达到以“不变应万变”、“出类旁通”的效果。