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[摘 要] 由于疏忽，导学案上出现了一道错误的课堂练习题，课堂上，我们就用这道题发挥了它的探究价值，取得了意想不到的教学效果. 通过分析，我们认为这个教学片断的精彩之处在于：触动学生的兴趣之弦，生本得以体现；打破练习的定式思维，本质得以凸显；学生真正经历，思维得以发展.
[关键词] 错题；分解因式；思维
背景介绍
在集体备课时，我们发现“9.5多项式的因式分解”（苏科版义务教育教科书七年级下册）的第三课时利用完全平方公式分解因式的一道课堂练习题发生了错误，题目内容本应是把多项式“a2-ab b2”分解因式，而导学案却把多项式写成了“a2-ab b2”. 显然是由编写导学案的人员疏忽所致，备课组老师提出，把这道错题让学生统一改过来（学生人手一本导学案）. 但笔者认为，这道题虽然是一道错题，但如果能把它利用好，可能会有意想不到的教学效果. 于是，笔者就此上了一节研究课，并得到了听课老师和同学们的一致好评.
片断回放
例题讲解之后，像往常一样，学生开始课堂练习. 教师绕教室走了一圈，发现很多学生写出a2-ab b2=
a-b2，写完之后便不假思索地继续做下一题. 出乎教师的意料，“这一题好像有点不对”，一个很小的声音传过来. “哪里不对？”他用笔圈出了中间项，教师向他点头说“有同学发现‘新大陆’了！”一种被肯定的满足感和自豪感洋溢在他的脸上. 陆陆续续，很多同学都发现了“新大陆”. “大家都发现了吗？这个多项式不能利用完全平方公式进行因式分解，这是一道错题. ”同学们开始叽叽喳喳起来，有的说“哎呀！真没想到练习题竟然有错题！”有的说“我一看有两个带平方的项，就不假思索地利用公式分解了，哪想到中间项不对啊. ”还有的同学说：“再用乘法公式回过头来验证一下就好了！”……每个同学都想把“中招”的事情说一说，课堂氛围自由、热烈.
师：面对这道错题，我们应该怎么办？
生：如果改编一下，就能用完全平方公式分解了.
兴奋的孩子们谁也不甘落后.
学生1：因为积的2倍项的系数不符合要求，我就把ab变成了ab，这样就有a2-ab b2=
a-b2. （记为方法一）
“很好！”本以为还会有同学发表不同的见解，可是没有人再举起手，这让教师立马意识到生1代表了全班同学的想法，可能也是他们唯一的想法. 是啊，刚才就是因为积的2倍项不符合条件，所以大家考虑变化第二项的系数，这是很自然的，可是，这不是唯一的改编方法啊. 难道学生想不到其他方法了吗？教师微笑着看着全班同学，期待着. 教室里很安静，学生很诧异，“难道这样不对吗？”“哦！是不是还有其他的改编方法？”从学生的表情可以看出，他们经历了这两个阶段的思考，好像柳暗花明了，举手的人渐渐多了起来.
学生2：我改动了第三项，把第三项变成
教师说：“这个多项式，三项的系数我们都可以变一变，让它能利用完全平方公式进行因式分解. 这三位同学做得非常好，你们都赞同他们的改编方法吗？赞同的请举手.”学生齐声答“赞同”，并高高地举起了手. “那这三位同学的因式分解都正确吗？认为正确的请举手. ”学生齐声答“正确”，又一次高高地举起了手. “看来黑板上这两位同学的步骤和答案得到了全班同学的充分肯定. ”学生齐声“嗯”，然后不约而同地笑了起来. 学生以为可以完美地“收工”了，个个脸上洋溢着成就感和满足感！
教师又一次微笑着转过头去看看黑板上的解答，再看看全班同学. 轰轰烈烈之后突然安静得连一根针掉落的声音都听得见，刚刚“中招”的学生非常“警惕”，开始陷入思考中.
学生4：我发现了，方法一和方法二分解后都不能再分解了，但方法三分解完后，还有公因式.
a-b2中还有公因式. 为什么会出现分解不彻底的问题呢？
学生思考了很长时间.
学生6：其实，改编了之后，这个多项式有公因式，如果先提取这个多项式的公因式，就好了，省得分解完之后还有后顾之忧. a2-ab b2=·（a2-2ab b2 ）=（a-b ）2.
师：（激情）非常棒！他仔细观察了这个多项式的特点，发现有公因式，然后提取，再利用公式进行分解，避免了刚才分解不彻底的现象，而且分解时会“顺畅”很多. 这道题，我们历尽千辛万苦，终于可以松一口气了，不妨让我们再来回顾一下这道题的解决过程，谈谈自己的收获与感受！
学生7：在分解因式时，我们一定要认真观察多项式的特点，先看它的各项有没有公因式，若有，应先提取公因式，再看能否使用公式分解，这两个步骤不能颠倒. 还有，分解完之后，回头再看看，还能不能继续分解.
学生8：以后，我们在用公式时，不能硬套用公式，要看清楚能不能用公式，别一看形式像，就想当然地套用了.
学生9：练习题也会出现错误，下次要多留个神.
学生10：没想到一个错题这么有意思！
分析与感悟
1. 触动学生的兴趣之弦，生本得以体现
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维. 本节课是运用公式法分解因式的第二课时，第一课时是运用平方差公式分解因式，这一课时是运用完全平方公式进行因式分解. 根据第一课时探索与学习所积累的经验，学生容易掌握用完全平方公式分解因式的方法，但对二次三项式的特点不容易把握清楚. 由于这两课时都是基于规则的教学，尤其是第二课时，学生和教师都觉得有些枯燥无味，平实无趣. 一个看似很平常的练习题，做完之后，题目是错误的，无法分解，需要改编才能分解，这对学生来说很新奇，也是一个挑战. 等到三位同学改编并分解因式之后，学生本来以为这一道题可以完美地画上句号了，没想到竟然改编第一项后竟然还能继续分解，学生的探索欲望再度被激起. 一个接一个的新问题刺激着学生内部的需要动机，并在问题的探索、发现、释疑、解疑中获得满足. 此题本来是一个错题，不经意间让很多学生“中招”，让学生很有新鲜感，好像磁铁一样紧紧吸引着学生的心，使他们一直处于最佳的精神状态，一会儿生疑，一会儿生趣. 学生在跌宕起伏的环节中，不仅领会了知识的意蕴，更享受了探索的乐趣. 整个过程，学生的主体性得以体现，个性得以张扬.
2. 打破练习的思维定式，本质得以凸显
课堂练习是学生掌握知识、形成技能、发展智力的基本途径，是课堂教学的重要环节. 本节课的课堂练习有两道题，第一题是判断给出的多项式能否分解因式，主要意图是让学生明晰能用完全平方公式分解因式的多项式的特点，第二题是把给出的多项式分解因式，主要意图是让学生运用公式分解因式. 这道错题是第二题的第（3）小题，从学生答题的情况来看，第一题和第二题（前两题）的正确率都很高，对于这道错题，学生也像前面题目的处理方法一样，很快得出了答案，即a2-ab b2=
a-b2，而且很多同学都得出了这样的答案. 为什么会这样呢？因为学生已有一种定式思维，本节课的主要内容是利用完全平方公式分解因式，所以课堂练习肯定是利用这个公式分解因式，一看到是一个二次三项式，而且首、尾两项都是带有平方的项，就想当然地利用它来分解，根本不考虑积的2倍项是否符合条件. 也就是说，学生在练习时根本没有过多思维的参与，而只停留在模仿或套用公式上. 定式思维作为一种特殊的心理准备状态，在条件相似的情况下，可以简化思维程序，有利于迅速解决问题，但当环境发生了变化，它将成为一种僵化的思维模式而影响问题的解决. 在课堂练习中，这种定式思维常常出现，使得当堂课的练习正确率很高，但过一段时间之后，学生却常常出现“会而不对”的现象，或者当多个知识点综合时，学生就会迷失方向.
这道错题的出现，于不经意间打破了学生课堂练习的定式思维，暴露了他们思维的漏洞. 这让学生意识到，对于数学知识的学习，在一定程度上可以靠模仿和记忆，但不能完全依靠，必须要有自己的思考和理性分析，否则一遇到新的问题就会原形毕露. 这也让我们意识到，正确可能只是一种模仿，而错误却是问题的自然呈现.
3. 学生真正经历，思维得以发展
根据本节课的教学设计，先给出一些二次三项式让学生判断哪些可以运用完全平方公式分解，从而总结出能用完全平方公式分解因式的特点，再进行例题教学，最后进行课堂练习与小结，整节课平实自然. 这道错题的出现，让学生在课堂临近结尾时真正经历了发现问题、分析问题与解决问题的思维过程. 因“中招”发现错题、改编错题，再将改编后的多项式分解因式后，可三种改编方法中有一种方法用公式分解后竟然还能分解，探索还需继续，原来分解后的多项式
a-b2还有公因式可以提取，这对学生来说是一个难点，也是第一次遇到. 答案修正之后，“为什么会出现分解不彻底的问题呢？”教师的一句点拨，孩子们又重新审视改编后的多项式，最后发现多项式a2-ab b2中有公因式，把这个公因式提取后，分解因式一下子“顺畅”了很多.
反思是数学活动的核心和动力，是发展思维的重要环节. 在这个过程中，学生在不断的反思中体验、理解和建构知识，不仅掌握了本节课的核心内容，自主建构了因式分解的步骤和方法（这是下一课时的一个知识目标），还感受到了反思的价值. 更重要的是，从发现错题到完美解决，整个过程都是学生在观察、思考、尝试、质疑，分析、概括和反思，这种亲身经历，让学生思维的缜密性、批判性、创造性和深刻性得以逐步提升. 华东师范大学李士锜教授曾经说过，数学学习应看作是一个过程，而不只是一个结果. 数学学习、数学思维就是一个反复尝试、探究的过程，是一个不断修正、改进、完善的过程. 教学只展示正确的过程是不够的，也应让学生参与曲折的学习过程，通过不断的反思、总结、交流，才能让学生有所思、有所悟.
结语
身在教学一线，我们知道，每到因式分解这一阶段的学习，学生总感觉难度很大，虽然经过反复讲解，反复训练，但收效都不是很好. 本节课，发挥一道错题的探究价值，让学生经历了因式分解的方法和步骤，使得学生的错误率明显降低，尤其是分解不彻底的现象几乎没有了，这让笔者有些欣喜和意外. 我想，这也许就是这道错题所发挥的作用吧！
整章结束之后，还有同学向我谈起“错题事件”：“老师，我学会了反思！”“老师，那道错题真好玩！”是啊，反思让我们深刻，“好玩”是学习数学持久的动力. 其实，在课堂教学中，有很多的素材都可以发挥它的价值，有很多方法都可以让学生感受到“数学好玩”，比如过程方法的优美、思路的简洁、视角的独特，不同方法的殊途同归，问题结果的出乎意料，等等，还有，制造“错题事件”. 只要我们对数学教学充满激情，学生会永远觉得“数学好玩”！
[关键词] 错题；分解因式；思维
背景介绍
在集体备课时，我们发现“9.5多项式的因式分解”（苏科版义务教育教科书七年级下册）的第三课时利用完全平方公式分解因式的一道课堂练习题发生了错误，题目内容本应是把多项式“a2-ab b2”分解因式，而导学案却把多项式写成了“a2-ab b2”. 显然是由编写导学案的人员疏忽所致，备课组老师提出，把这道错题让学生统一改过来（学生人手一本导学案）. 但笔者认为，这道题虽然是一道错题，但如果能把它利用好，可能会有意想不到的教学效果. 于是，笔者就此上了一节研究课，并得到了听课老师和同学们的一致好评.
片断回放
例题讲解之后，像往常一样，学生开始课堂练习. 教师绕教室走了一圈，发现很多学生写出a2-ab b2=
a-b2，写完之后便不假思索地继续做下一题. 出乎教师的意料，“这一题好像有点不对”，一个很小的声音传过来. “哪里不对？”他用笔圈出了中间项，教师向他点头说“有同学发现‘新大陆’了！”一种被肯定的满足感和自豪感洋溢在他的脸上. 陆陆续续，很多同学都发现了“新大陆”. “大家都发现了吗？这个多项式不能利用完全平方公式进行因式分解，这是一道错题. ”同学们开始叽叽喳喳起来，有的说“哎呀！真没想到练习题竟然有错题！”有的说“我一看有两个带平方的项，就不假思索地利用公式分解了，哪想到中间项不对啊. ”还有的同学说：“再用乘法公式回过头来验证一下就好了！”……每个同学都想把“中招”的事情说一说，课堂氛围自由、热烈.
师：面对这道错题，我们应该怎么办？
生：如果改编一下，就能用完全平方公式分解了.
兴奋的孩子们谁也不甘落后.
学生1：因为积的2倍项的系数不符合要求，我就把ab变成了ab，这样就有a2-ab b2=
a-b2. （记为方法一）
“很好！”本以为还会有同学发表不同的见解，可是没有人再举起手，这让教师立马意识到生1代表了全班同学的想法，可能也是他们唯一的想法. 是啊，刚才就是因为积的2倍项不符合条件，所以大家考虑变化第二项的系数，这是很自然的，可是，这不是唯一的改编方法啊. 难道学生想不到其他方法了吗？教师微笑着看着全班同学，期待着. 教室里很安静，学生很诧异，“难道这样不对吗？”“哦！是不是还有其他的改编方法？”从学生的表情可以看出，他们经历了这两个阶段的思考，好像柳暗花明了，举手的人渐渐多了起来.
学生2：我改动了第三项，把第三项变成
教师说：“这个多项式，三项的系数我们都可以变一变，让它能利用完全平方公式进行因式分解. 这三位同学做得非常好，你们都赞同他们的改编方法吗？赞同的请举手.”学生齐声答“赞同”，并高高地举起了手. “那这三位同学的因式分解都正确吗？认为正确的请举手. ”学生齐声答“正确”，又一次高高地举起了手. “看来黑板上这两位同学的步骤和答案得到了全班同学的充分肯定. ”学生齐声“嗯”，然后不约而同地笑了起来. 学生以为可以完美地“收工”了，个个脸上洋溢着成就感和满足感！
教师又一次微笑着转过头去看看黑板上的解答，再看看全班同学. 轰轰烈烈之后突然安静得连一根针掉落的声音都听得见，刚刚“中招”的学生非常“警惕”，开始陷入思考中.
学生4：我发现了，方法一和方法二分解后都不能再分解了，但方法三分解完后，还有公因式.
a-b2中还有公因式. 为什么会出现分解不彻底的问题呢？
学生思考了很长时间.
学生6：其实，改编了之后，这个多项式有公因式，如果先提取这个多项式的公因式，就好了，省得分解完之后还有后顾之忧. a2-ab b2=·（a2-2ab b2 ）=（a-b ）2.
师：（激情）非常棒！他仔细观察了这个多项式的特点，发现有公因式，然后提取，再利用公式进行分解，避免了刚才分解不彻底的现象，而且分解时会“顺畅”很多. 这道题，我们历尽千辛万苦，终于可以松一口气了，不妨让我们再来回顾一下这道题的解决过程，谈谈自己的收获与感受！
学生7：在分解因式时，我们一定要认真观察多项式的特点，先看它的各项有没有公因式，若有，应先提取公因式，再看能否使用公式分解，这两个步骤不能颠倒. 还有，分解完之后，回头再看看，还能不能继续分解.
学生8：以后，我们在用公式时，不能硬套用公式，要看清楚能不能用公式，别一看形式像，就想当然地套用了.
学生9：练习题也会出现错误，下次要多留个神.
学生10：没想到一个错题这么有意思！
分析与感悟
1. 触动学生的兴趣之弦，生本得以体现
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维. 本节课是运用公式法分解因式的第二课时，第一课时是运用平方差公式分解因式，这一课时是运用完全平方公式进行因式分解. 根据第一课时探索与学习所积累的经验，学生容易掌握用完全平方公式分解因式的方法，但对二次三项式的特点不容易把握清楚. 由于这两课时都是基于规则的教学，尤其是第二课时，学生和教师都觉得有些枯燥无味，平实无趣. 一个看似很平常的练习题，做完之后，题目是错误的，无法分解，需要改编才能分解，这对学生来说很新奇，也是一个挑战. 等到三位同学改编并分解因式之后，学生本来以为这一道题可以完美地画上句号了，没想到竟然改编第一项后竟然还能继续分解，学生的探索欲望再度被激起. 一个接一个的新问题刺激着学生内部的需要动机，并在问题的探索、发现、释疑、解疑中获得满足. 此题本来是一个错题，不经意间让很多学生“中招”，让学生很有新鲜感，好像磁铁一样紧紧吸引着学生的心，使他们一直处于最佳的精神状态，一会儿生疑，一会儿生趣. 学生在跌宕起伏的环节中，不仅领会了知识的意蕴，更享受了探索的乐趣. 整个过程，学生的主体性得以体现，个性得以张扬.
2. 打破练习的思维定式，本质得以凸显
课堂练习是学生掌握知识、形成技能、发展智力的基本途径，是课堂教学的重要环节. 本节课的课堂练习有两道题，第一题是判断给出的多项式能否分解因式，主要意图是让学生明晰能用完全平方公式分解因式的多项式的特点，第二题是把给出的多项式分解因式，主要意图是让学生运用公式分解因式. 这道错题是第二题的第（3）小题，从学生答题的情况来看，第一题和第二题（前两题）的正确率都很高，对于这道错题，学生也像前面题目的处理方法一样，很快得出了答案，即a2-ab b2=
a-b2，而且很多同学都得出了这样的答案. 为什么会这样呢？因为学生已有一种定式思维，本节课的主要内容是利用完全平方公式分解因式，所以课堂练习肯定是利用这个公式分解因式，一看到是一个二次三项式，而且首、尾两项都是带有平方的项，就想当然地利用它来分解，根本不考虑积的2倍项是否符合条件. 也就是说，学生在练习时根本没有过多思维的参与，而只停留在模仿或套用公式上. 定式思维作为一种特殊的心理准备状态，在条件相似的情况下，可以简化思维程序，有利于迅速解决问题，但当环境发生了变化，它将成为一种僵化的思维模式而影响问题的解决. 在课堂练习中，这种定式思维常常出现，使得当堂课的练习正确率很高，但过一段时间之后，学生却常常出现“会而不对”的现象，或者当多个知识点综合时，学生就会迷失方向.
这道错题的出现，于不经意间打破了学生课堂练习的定式思维，暴露了他们思维的漏洞. 这让学生意识到，对于数学知识的学习，在一定程度上可以靠模仿和记忆，但不能完全依靠，必须要有自己的思考和理性分析，否则一遇到新的问题就会原形毕露. 这也让我们意识到，正确可能只是一种模仿，而错误却是问题的自然呈现.
3. 学生真正经历，思维得以发展
根据本节课的教学设计，先给出一些二次三项式让学生判断哪些可以运用完全平方公式分解，从而总结出能用完全平方公式分解因式的特点，再进行例题教学，最后进行课堂练习与小结，整节课平实自然. 这道错题的出现，让学生在课堂临近结尾时真正经历了发现问题、分析问题与解决问题的思维过程. 因“中招”发现错题、改编错题，再将改编后的多项式分解因式后，可三种改编方法中有一种方法用公式分解后竟然还能分解，探索还需继续，原来分解后的多项式
a-b2还有公因式可以提取，这对学生来说是一个难点，也是第一次遇到. 答案修正之后，“为什么会出现分解不彻底的问题呢？”教师的一句点拨，孩子们又重新审视改编后的多项式，最后发现多项式a2-ab b2中有公因式，把这个公因式提取后，分解因式一下子“顺畅”了很多.
反思是数学活动的核心和动力，是发展思维的重要环节. 在这个过程中，学生在不断的反思中体验、理解和建构知识，不仅掌握了本节课的核心内容，自主建构了因式分解的步骤和方法（这是下一课时的一个知识目标），还感受到了反思的价值. 更重要的是，从发现错题到完美解决，整个过程都是学生在观察、思考、尝试、质疑，分析、概括和反思，这种亲身经历，让学生思维的缜密性、批判性、创造性和深刻性得以逐步提升. 华东师范大学李士锜教授曾经说过，数学学习应看作是一个过程，而不只是一个结果. 数学学习、数学思维就是一个反复尝试、探究的过程，是一个不断修正、改进、完善的过程. 教学只展示正确的过程是不够的，也应让学生参与曲折的学习过程，通过不断的反思、总结、交流，才能让学生有所思、有所悟.
结语
身在教学一线，我们知道，每到因式分解这一阶段的学习，学生总感觉难度很大，虽然经过反复讲解，反复训练，但收效都不是很好. 本节课，发挥一道错题的探究价值，让学生经历了因式分解的方法和步骤，使得学生的错误率明显降低，尤其是分解不彻底的现象几乎没有了，这让笔者有些欣喜和意外. 我想，这也许就是这道错题所发挥的作用吧！
整章结束之后，还有同学向我谈起“错题事件”：“老师，我学会了反思！”“老师，那道错题真好玩！”是啊，反思让我们深刻，“好玩”是学习数学持久的动力. 其实，在课堂教学中，有很多的素材都可以发挥它的价值，有很多方法都可以让学生感受到“数学好玩”，比如过程方法的优美、思路的简洁、视角的独特，不同方法的殊途同归，问题结果的出乎意料，等等，还有，制造“错题事件”. 只要我们对数学教学充满激情，学生会永远觉得“数学好玩”！