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摘要：在介绍Matlab软件特点并分析当前“概率论与统计”课程教学现状和存在问题的基础上，通过教学模拟实例阐述了把Matlab软件引入“概率论与统计”教学中的必要性。将“概率论与统计”的理论教学和数学软件Matlab紧密结合起来，能帮助学生深入理解数学概念，更能激发学生学习和研究的兴趣，提高学生自己动手分析、解决问题的能力，明显提高了课程的教学效率和效果。
关键词：概率论与统计；Matlab；课程教学
作者简介：黄兰（1982-），女，河南光山人，华北水利水电学院数学与信息科学学院，讲师。（河南 郑州 450011）翟凤潇（1979-），男，河南永城人，郑州轻工业学院技术物理系，讲师。（河南 郑州 450002）
基金项目：本文系华北水利水电学院项目（项目编号：201087）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）29-0077-02
概率论与数理统计作为现代数学的重要分支，在自然科学、社会科学和工程技术等领域都具有极为广泛的应用。一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻；另一方面，它与其他学科又有紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。由于近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性，其目前已发展成为一门独立的一级学科。概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是理、工、经、管类本科生必修的一门重要的基础课。随着计算机技术的发展和普及，概率论与数理统计的理论与方法在经济、管理、金融、保险、军事和科学技术中得到了长足的发展和广泛应用，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制，时间序列分析应用于石油勘测和经济管理等，同时又向基础学科、工科等学科渗透，与其他学科相结合发展成为边缘学科，这是概率论与数理统计发展的一个新趋势。
本课程概念繁多，而传统的课堂教学方法主要是板书演算讲解，造成学生对抽象概念的实质领会存在困难。作为新时代的教育工作者就必须努力地吸取世界上一切优秀的教育思想、教学手段，并创造性地应用于我们的教学事业。我们把Matlab应用到本课程教学中不仅能提高学生的学习兴趣，而且能提高教学效率。
一、Matlab软件特点介绍
1984年，美国MathWorks公司推出Matlab，它是由Matrix和Laboratory这两个词缩写组合而成，在许多领域得到了广泛应用。Matlab是一种高性能的、用于工程计算的编程软件，它把科学计算、结果的可视化和编程都集中在一个使用非常方便的环境中。[1]在国外的高校中已普遍把Matlab作为专用的科学计算语言来开设，已成为大学生、研究生、教师必备的基本技能。Matlab可以进行矩阵运算、数据可视化、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言程序等。
如今，Matlab已经成为概率论与数理统计、线性代数、自动控制理论、时间序列分析、动态系统仿真等高等课程的基本教学工具。作为优秀的科技应用软件Matlab具有以下诸多特点。[2]
1.具有强大的数值计算和符号运算性能
2.操作界面简单，编程语言自然
Matlab以复数与矩阵为计算单元，使用常用的数学符号和数学表达式。
3.具有先进的数据可视化功能
提供了大量的图形程序，可方便地实现数据的可视化。Matlab内部利用图形句柄控制图形的显示，图形句柄定义了一个图形对象集，包括直线、表面、文本等，同时提供了这些对象的操作方法。Matlab提供的高级图形命令，可绘制各种美观图形。
4.具有强大的开放性和可扩展性
Matlab大部分指令的程序是开放的，用户可以模仿和修改。具有丰富的专业工具箱，为各领域的研究和工程应用提供了强有力的帮助。
当然，Matlab还具有一些其他特点，正是这些特点使其具有对应用学科的极强适应力，并很快成为科研、教学等工作者喜爱和必备的工具软件。在课堂教学中应用 Matlab对提高教学效果十分明显。下面我们将结合实例谈谈 Matlab在“概率论与数理统计”教学中的应用。
二、Matlab在课堂教学中的应用
1.“概率论与统计”教学中引入Matlab的必要性
各专业尤其是理工科院校“概率论与数理统计”课程教学的基本目标是把数学方法和应用有机地结合起来，为本专业其他课程的学习以及将来在实际工作中如何应用打好基础。长期以来，由于“概率论与统计”课程中的概念繁多、抽象，再加上授课教师一直沿袭传统的口授笔演的教学方式，这些都造成学生学习该门课程有着诸多困难，教学效果也总是不尽如人意。正是在这种情况下，我们认为本课程需要形象生动直观的课堂教学，需要辅以现代化教学手段，从而提高学生学习兴趣，逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力。概率论与数理统计教育不仅是知识教育，更是一种分析能力的训练，一种实际应用能力的培养。在本课程教学过程中引入Matlab正是一种与其他学科相结合的体现。
Matlab语言简单易学，其强大的科学计算与图形图像功能的完美结合使之成为我们进行科学研究和教学的首选。特别是通过人机交互任意改变各参量值，使学生对各种抽象概念的理解图形直观化，可以通过改变参数使学生对图形变化与各参量间的关系有一个直观感受，从而可以加深对抽象概念的认识和理解。将Matlab软件和抽象的教学有机地结合起来，能帮助学生更好地理解概念，能激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考能力。
具体的教学中，可以通过两种方式将Matlab与课堂教学有机地结合起来：一是以Matlab为平台，开发制作各种数学模型仿真软件，运用计算机支持课堂教学，作为理论教学的直观演示。二是利用Matlab的计算与模拟功能，鼓励学生通过自主探索，去研究课程中的一些更深入的问题。在掌握理论知识的前提下，让学生建立相应的数学模型，然后利用Matlab编写程序，去完成对知识的巩固与拓宽，这是一种探索过程，这个过程可以是学生独立进行也可以是在教师指导下进行。通过这种学习方式，也为学生将来完成毕业论文、毕业设计乃至以后的研究工作奠定基础。
2.应用举例
在本课程的概率论部分，介绍了各种随机变量以及连续型随机变量概率密度函数的概念，尤其是随机变量概率密度函数理解比较抽象。我们在这里选取比较典型的正态分布概率密度函数进行 Matlab 直接演示。设随机变量，其概率密度函数为：
可见，概率密度函数含有两个参数：即均值μ和方差σ2。这两个参数是正态分布的两个数字特征，具有非常重要的作用，但是作为初次接触的学生，很难理解这两个参数的重要性，也很难看出均值和方差与概率密度函数的关系。如果我们把这个概率密度函数的图形画出来，学生接受起来就会相对容易些，而现行多数的概率统计类教材绘制了某些特定μ，σ2下的概率密度函数曲线，例如一般给出标准正态分布（即均值为0，方差为1）的概率密度函数图形，但是单从这个图像我们很难看出这两个参数与密度函数之间的关系。如果我们利用 Matlab软件，通过函数的编写可以直接绘制对任意给定的μ，σ2的概率密度函数曲线，我们很容易直观地看出这两个参数的变化对密度函数的影响。
利用Matlab软件的计算可视化和GUI设计功能，我们编写和设计的结果如图1、2所示。通过弹出窗口可以改变不同的μ，σ2参数组合，曲线显示窗口可以直接显示函数曲线。改变不同的参数，可以直接观察函数对参数变化的依赖关系。图1所示为固定均值μ=0，改变方差大小时，函数图像发生的变化。通过选取三个不同的方差值，对比函数的变化，从而使学生对“固定μ时，随着方差σ2的增大，图形变的越来越扁，但对称轴不变”[3]结论的理解更深刻。图2所示为方差不变，均值发生变化时对函数图形的影响。图中直观地显示保持方差不变时，改变均值只使图形的对称轴发生平移，而图形形状保持不变。
以上仅是Matlab可视化在抽象概念理论教学中的一个简单应用实例，通过修改模拟程序，还可以应用到其他的教学内容，如指数分布、泊松分布等。学生对于这种教学方法兴趣较高，并且可以与教师一起参与到教学中来，例如上面提到的一维正态分布，通过模拟程序的修改，让学生完成二维正态分布的模拟，使学生加深了对概念的理解。教师可以鼓励学生在学习相关章节内容的同时，编写相应的Matlab软件模拟程序，教师可以对学生模拟的结果进行评比。这样既提高了学生学习的积极性又可以让学生把本门课程与计算机技术结合起来。通过Matlab在教学中的应用，教学效果得到了明显的提高。
三、结论
通过以上简单的教学实例，结合Matlab软件在理工科课程教学的经验，我们认为将Matlab引入“概率论与统计”课堂教学是十分必要的。通过教学实践，这种教学方式可以明显提高教学效率和效果，既可以增强学生对理论知识的理解，又可以提高学生自己动手进行分析、解决问题的能力，为今后的工作或研究打下基础，这正是本课程教学的目标。
以上仅是Matlab应用于“概率论与统计”教学一个简单的应用实例。通过进一步的开发和完善之后，必将对课程的教学起到积极的帮助作用。实际上，作为一种优秀的软件，Matlab可以应用到各相关的理工课程教学中并产生积极的影响。
参考文献：
[1]薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的Matlab求解[M].第二版.北京:清华大学出版社,2008.
[2]郑阿奇,曹弋,赵阳.Matlab实用教程[M].北京:电子工业出版社,2004.
[3]王松贵,张忠占,等.概率论与数理统计[M].第二版.北京:科学出版社,2006.
（责任编辑：刘辉）
关键词：概率论与统计；Matlab；课程教学
作者简介：黄兰（1982-），女，河南光山人，华北水利水电学院数学与信息科学学院，讲师。（河南 郑州 450011）翟凤潇（1979-），男，河南永城人，郑州轻工业学院技术物理系，讲师。（河南 郑州 450002）
基金项目：本文系华北水利水电学院项目（项目编号：201087）的研究成果。
中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2011）29-0077-02
概率论与数理统计作为现代数学的重要分支，在自然科学、社会科学和工程技术等领域都具有极为广泛的应用。一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻；另一方面，它与其他学科又有紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。由于近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性，其目前已发展成为一门独立的一级学科。概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是理、工、经、管类本科生必修的一门重要的基础课。随着计算机技术的发展和普及，概率论与数理统计的理论与方法在经济、管理、金融、保险、军事和科学技术中得到了长足的发展和广泛应用，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制，时间序列分析应用于石油勘测和经济管理等，同时又向基础学科、工科等学科渗透，与其他学科相结合发展成为边缘学科，这是概率论与数理统计发展的一个新趋势。
本课程概念繁多，而传统的课堂教学方法主要是板书演算讲解，造成学生对抽象概念的实质领会存在困难。作为新时代的教育工作者就必须努力地吸取世界上一切优秀的教育思想、教学手段，并创造性地应用于我们的教学事业。我们把Matlab应用到本课程教学中不仅能提高学生的学习兴趣，而且能提高教学效率。
一、Matlab软件特点介绍
1984年，美国MathWorks公司推出Matlab，它是由Matrix和Laboratory这两个词缩写组合而成，在许多领域得到了广泛应用。Matlab是一种高性能的、用于工程计算的编程软件，它把科学计算、结果的可视化和编程都集中在一个使用非常方便的环境中。[1]在国外的高校中已普遍把Matlab作为专用的科学计算语言来开设，已成为大学生、研究生、教师必备的基本技能。Matlab可以进行矩阵运算、数据可视化、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言程序等。
如今，Matlab已经成为概率论与数理统计、线性代数、自动控制理论、时间序列分析、动态系统仿真等高等课程的基本教学工具。作为优秀的科技应用软件Matlab具有以下诸多特点。[2]
1.具有强大的数值计算和符号运算性能
2.操作界面简单，编程语言自然
Matlab以复数与矩阵为计算单元，使用常用的数学符号和数学表达式。
3.具有先进的数据可视化功能
提供了大量的图形程序，可方便地实现数据的可视化。Matlab内部利用图形句柄控制图形的显示，图形句柄定义了一个图形对象集，包括直线、表面、文本等，同时提供了这些对象的操作方法。Matlab提供的高级图形命令，可绘制各种美观图形。
4.具有强大的开放性和可扩展性
Matlab大部分指令的程序是开放的，用户可以模仿和修改。具有丰富的专业工具箱，为各领域的研究和工程应用提供了强有力的帮助。
当然，Matlab还具有一些其他特点，正是这些特点使其具有对应用学科的极强适应力，并很快成为科研、教学等工作者喜爱和必备的工具软件。在课堂教学中应用 Matlab对提高教学效果十分明显。下面我们将结合实例谈谈 Matlab在“概率论与数理统计”教学中的应用。
二、Matlab在课堂教学中的应用
1.“概率论与统计”教学中引入Matlab的必要性
各专业尤其是理工科院校“概率论与数理统计”课程教学的基本目标是把数学方法和应用有机地结合起来，为本专业其他课程的学习以及将来在实际工作中如何应用打好基础。长期以来，由于“概率论与统计”课程中的概念繁多、抽象，再加上授课教师一直沿袭传统的口授笔演的教学方式，这些都造成学生学习该门课程有着诸多困难，教学效果也总是不尽如人意。正是在这种情况下，我们认为本课程需要形象生动直观的课堂教学，需要辅以现代化教学手段，从而提高学生学习兴趣，逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模与实践能力。概率论与数理统计教育不仅是知识教育，更是一种分析能力的训练，一种实际应用能力的培养。在本课程教学过程中引入Matlab正是一种与其他学科相结合的体现。
Matlab语言简单易学，其强大的科学计算与图形图像功能的完美结合使之成为我们进行科学研究和教学的首选。特别是通过人机交互任意改变各参量值，使学生对各种抽象概念的理解图形直观化，可以通过改变参数使学生对图形变化与各参量间的关系有一个直观感受，从而可以加深对抽象概念的认识和理解。将Matlab软件和抽象的教学有机地结合起来，能帮助学生更好地理解概念，能激发学生的学习兴趣，培养学生独立思考能力。
具体的教学中，可以通过两种方式将Matlab与课堂教学有机地结合起来：一是以Matlab为平台，开发制作各种数学模型仿真软件，运用计算机支持课堂教学，作为理论教学的直观演示。二是利用Matlab的计算与模拟功能，鼓励学生通过自主探索，去研究课程中的一些更深入的问题。在掌握理论知识的前提下，让学生建立相应的数学模型，然后利用Matlab编写程序，去完成对知识的巩固与拓宽，这是一种探索过程，这个过程可以是学生独立进行也可以是在教师指导下进行。通过这种学习方式，也为学生将来完成毕业论文、毕业设计乃至以后的研究工作奠定基础。
2.应用举例
在本课程的概率论部分，介绍了各种随机变量以及连续型随机变量概率密度函数的概念，尤其是随机变量概率密度函数理解比较抽象。我们在这里选取比较典型的正态分布概率密度函数进行 Matlab 直接演示。设随机变量，其概率密度函数为：
可见，概率密度函数含有两个参数：即均值μ和方差σ2。这两个参数是正态分布的两个数字特征，具有非常重要的作用，但是作为初次接触的学生，很难理解这两个参数的重要性，也很难看出均值和方差与概率密度函数的关系。如果我们把这个概率密度函数的图形画出来，学生接受起来就会相对容易些，而现行多数的概率统计类教材绘制了某些特定μ，σ2下的概率密度函数曲线，例如一般给出标准正态分布（即均值为0，方差为1）的概率密度函数图形，但是单从这个图像我们很难看出这两个参数与密度函数之间的关系。如果我们利用 Matlab软件，通过函数的编写可以直接绘制对任意给定的μ，σ2的概率密度函数曲线，我们很容易直观地看出这两个参数的变化对密度函数的影响。
利用Matlab软件的计算可视化和GUI设计功能，我们编写和设计的结果如图1、2所示。通过弹出窗口可以改变不同的μ，σ2参数组合，曲线显示窗口可以直接显示函数曲线。改变不同的参数，可以直接观察函数对参数变化的依赖关系。图1所示为固定均值μ=0，改变方差大小时，函数图像发生的变化。通过选取三个不同的方差值，对比函数的变化，从而使学生对“固定μ时，随着方差σ2的增大，图形变的越来越扁，但对称轴不变”[3]结论的理解更深刻。图2所示为方差不变，均值发生变化时对函数图形的影响。图中直观地显示保持方差不变时，改变均值只使图形的对称轴发生平移，而图形形状保持不变。
以上仅是Matlab可视化在抽象概念理论教学中的一个简单应用实例，通过修改模拟程序，还可以应用到其他的教学内容，如指数分布、泊松分布等。学生对于这种教学方法兴趣较高，并且可以与教师一起参与到教学中来，例如上面提到的一维正态分布，通过模拟程序的修改，让学生完成二维正态分布的模拟，使学生加深了对概念的理解。教师可以鼓励学生在学习相关章节内容的同时，编写相应的Matlab软件模拟程序，教师可以对学生模拟的结果进行评比。这样既提高了学生学习的积极性又可以让学生把本门课程与计算机技术结合起来。通过Matlab在教学中的应用，教学效果得到了明显的提高。
三、结论
通过以上简单的教学实例，结合Matlab软件在理工科课程教学的经验，我们认为将Matlab引入“概率论与统计”课堂教学是十分必要的。通过教学实践，这种教学方式可以明显提高教学效率和效果，既可以增强学生对理论知识的理解，又可以提高学生自己动手进行分析、解决问题的能力，为今后的工作或研究打下基础，这正是本课程教学的目标。
以上仅是Matlab应用于“概率论与统计”教学一个简单的应用实例。通过进一步的开发和完善之后，必将对课程的教学起到积极的帮助作用。实际上，作为一种优秀的软件，Matlab可以应用到各相关的理工课程教学中并产生积极的影响。
参考文献：
[1]薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的Matlab求解[M].第二版.北京:清华大学出版社,2008.
[2]郑阿奇,曹弋,赵阳.Matlab实用教程[M].北京:电子工业出版社,2004.
[3]王松贵,张忠占,等.概率论与数理统计[M].第二版.北京:科学出版社,2006.
（责任编辑：刘辉）