“范围”问题是高中数学常见的题型，也是高考的一个热点，1999年全国高考卷的第17题具有典型的示范性.这是一道陈年“旧”题，但其探求过程却蕴藏着多种数学思想，这些数学思想方法的掌握，不仅有助于解决相关类型问题，而且也有助于提高学生的数学素养.本文就这道高考题的解法进行探究并说明数学思想在其中的应用，旨在开启学生的理性思维，拓宽思路，提升解题能力.
　　题目 若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是.
　　一、应用化归转化思想
　　解法1 ∵a>0,b>0，
　　∴a+b≥2ab，∴ab=a+b+3≥2ab+3，
　　即ab-2ab-3≥0，
　　解得ab≥3或ab≤-1(不合舍去).
　　∴ab≥9，故ab的取值范围为［9,+∞).
　　解法2 ∵a2+b2≥2ab，∴(a+b)2≥4ab.
　　又 ab=a+b+3，∴(a+b)2≥4(a+b+3)，
　　即(a+b+2)(a+b-6)≥0.
　　∵a>0，b>0，∴a+b+2>0，∴a+b≥6，∴ab≥9.
　　解法3 ∵a>0,b>0，ab=a+b+3，
　　∴1=1b+1a+3ab≥333a2b2，
　　即a2b2≥81.∵ab>0，∴ab≥9.
　　评析 转化与化归思想是数学中最基本的思想方法，每一个数学问题的获解，无不是在不断地转化之中.解决“范围”问题关键在于寻找出所求变量的不等关系，本题通过重要不等式或均值不等式很容易就可把已知条件的等量关系加以转化,从而顺利找到解决问题的突破口.化难为易、化生为熟、化繁为简、化大为小、各个击破是此种思想方法应用的精髓.
　　二、应用函数思想
　　解法4 由已知，得a(b-1)=b+3.
　　∵a>0，b>0，∴b-1>0，∴a=b+3b-1.
　　∴ab=b2+3bb-1=b-1+4b-1+5≥24+5=9(当且仅当b-1=4b-1，即b=3时,等号成立)，即ab≥9.
　　评析 函数是高中数学的主干，其思想的应用是解决问题重要的思维方式.运用函数思想解题，重在对问题中变量的数量关系进行动态研究，从变量的运动、变化、联系和发展角度打开思路.本题从函数观点出发，将条件变形后消元，构建了关于变量b的函数，使问题转化为求解函数的值域，解决问题的目的也就水到渠成了.
　　三、应用方程思想
　　解法5 ∵ab=a+b+3，∴a+b=ab-3.
　　又 a>0，b>0，
　　∴a,b是方程x2+(ab-3)x+ab=0的两个正根.
　　∴Δ=(3-ab)2-4ab≥0,a+b=ab-3>0，ab>0ab≥9或ab≤1，ab>3，ab>0，
　　解得ab≥9.
　　评析 方程与函数是两个密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，辩证统一，方程思想则重在分析和研究问题中变量的等量关系.题中条件的和、积特征十分明显,由韦达定理便可构建出一个二次方程模型,从而应用二次方程实根的分布条件使问题获解.
　　四、应用变量代换思想
　　解法6 ∵ab=a+b+3，
　　∴(a-1)(b-1)=4=22，
　　∴a-1,2,b-1成等比数列.
　　设a-1=2q，b-1=2q，则a=2q+1，b=2q+1.
　　∵a>0，b>0，∴2q+1>0，2q+1>0，解得q>0.
　　∴ab=2q+1(2q+1)=5+21q+q≥9，
　　∴ab∈［9,+∞).
　　解法7 ∵ab=a+b+3，∴(a-1)(b-1)4=1.
　　设a-1=2tanα,b-1=2cotα，
　　则a=2tanα+1,b=2cotα+1.
　　由法4，得b-1>0.
　　∴a-1>0，∴tanα>0,cotα>0，
　　∴ab=(2tanα+1)(2cotα+1)=5+2(tanα+cotα)≥9，
　　∴ab∈［9,+∞).
　　评析 变量代换主要有两种方式:代数代换和三角代换.根据题设条件进行合理代换,可使变量间的关系更加清楚,达到化繁为简、化难为易的目的，但新的变量要确保原来的变量的范围不发生任何的变化.本题将条件变形，类比等比数列中项的性质和三角函数tanα，cotα的关系进行变量代换,思路随之显现.
　　数学思想是数学知识的高度概括,它贯穿于整个中学数学的学习中.在解决问题的过程中，若能对数学思想进行挖掘、提炼和渗透,熟练用数学思想来指导解题,不仅可以有效地驾驭数学知识于应用之中,而且对开发智力、培养能力和优化思维都有着极其重要的意义.
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