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原题:如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》
习题19.1第8题）
认真研究本题可以得到以下两个命题：
命题：如图1，若直线l1∥l2，则S△ABC
=S△DBC.
逆命题：如图2,若S△ABC=S△DBC,则有直线l1∥l2
图1图2
证明：
如图2，过点A、D作AE⊥BC,DF⊥BC,S△ABC
=12BC·AE,S△DBC
=12BC·DF.因为l1∥l2,所以AE
=DF.所以S△ABC=S△DBC,命题1成立.
如图2，因为S△ABC
=S△DBC=12BC·AE
=12BC·DF，所以AE=DF.
又因为AE⊥BC,DF⊥BC,所以四边形AEFD是平行四边形，所以
l1∥l2.命题2成立.
应用：
1.确定点的个数
例1已知：在正方形网格中，每个小格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，如图3所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）
(A) 3个(B) ４个
(C) 5个(D) 6个
分析：
因为S△ABC=1，AB=2，所以高为
2.
利用同底等高三角形面积相等，如图可以找到6个.故选(D).
图3图4
2.求图形面积
例2已知：如图4，直角梯形ABCD中，DC∥AB,AB=8,BC⊥AB,BC=4,DC=5.求图中阴影部分面积.
解：连AC，因为DC∥AB,所以S△ADC=
S△DCE.
所以S阴影=S△ABC
=12
×8×4=16.
3.证明定理
利用同底等高面积相等可以证明一些重要定理，例如三角形中位线定理，梯形中位线定理，平行线分线段成比例定理等.下面以平行线分线段成比例定理为例给出证明.
例4有一块形状如图6所示的耕地，兄弟4人要把它平均分成四等份，请你设计一种方法，把它分成所需要的份数.
作法：连AD、DB，过E作EM∥DA交BA延长线于点M，连DM交AE于点P.过点C作CN∥
BD交AB延长线于点N，连DN交BC于点Q，取MN的四等分点M1、M2、M3，连DM1、DM2、DM3，即分为四等份.
证明：因为
ME∥AQ,CN∥BD
所以S△EPD=S△MPA,S△DCQ
=S△BQN
所以S△MDN=S原图形
所以DM1、DM2、DM3四等分耕地面积.
5.证面积相等
图7
例5如图7，点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于点F.求证：
S△ABF
=S△EFC.
证明：连BD
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AD∥BC,AB∥CD,S△ABF=S△BDF
,S△BCD=S△ECD
所以S△BCD-S△EDC=
S△ECD-S△FCD
所以S△BDF=S△EFC,
所以S△ABF=S△
EFC.
6.判断点的存在性
图8
例6如图8，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点C.试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点E，使得△ACE与△ACD的面积相等？若存在
，请求出此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由.
分析：
△ACE与△ACD同底，可利用两平行线间同底等高面积相等，如果过点D与直线AC平行的直线与抛物线有另一交点，则点E存在，否则不存在.
解：过点D作直线AC的平行线DM，由D（1，4）、A（3，0）可知抛物线解析式为：y=-x2+2x+3,则C（0，3），直线AC解析式为y=-x+3,直线DM解析式为y=-x+5,解方程-x+5=-x2+2x+3,得x=1或x=2.所以存在点E的坐标为（2，3）
7.证明两直线平行
例7如图9，点M、N在反比例函数y=
kx(k>0)的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F.试证明MN∥EF.若改变点M、N的位置，如图9（2）所示，试判断MN与EF是否平行.
图9
证明：连结MF、NE.设点M的坐标为（x1,y1),点N的坐标为
（x2,y2),
因为点M、N在反比例函数y=
kx(k>0)的图象上，
所以x1y1=k,x2y2=k.
因为ME⊥y轴，NF⊥x轴，
所以OE=y1,OF=x2,
所以S△EFM
=12x1·y1=
12k,
S△EFN
=12x2·y2=
12
k.
S△EFM
=S△EFN.
所以MN∥EF.
同理可证MN∥EF.(略）
习题19.1第8题）
认真研究本题可以得到以下两个命题：
命题：如图1，若直线l1∥l2，则S△ABC
=S△DBC.
逆命题：如图2,若S△ABC=S△DBC,则有直线l1∥l2
图1图2
证明：
如图2，过点A、D作AE⊥BC,DF⊥BC,S△ABC
=12BC·AE,S△DBC
=12BC·DF.因为l1∥l2,所以AE
=DF.所以S△ABC=S△DBC,命题1成立.
如图2，因为S△ABC
=S△DBC=12BC·AE
=12BC·DF，所以AE=DF.
又因为AE⊥BC,DF⊥BC,所以四边形AEFD是平行四边形，所以
l1∥l2.命题2成立.
应用：
1.确定点的个数
例1已知：在正方形网格中，每个小格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，如图3所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）
(A) 3个(B) ４个
(C) 5个(D) 6个
分析：
因为S△ABC=1，AB=2，所以高为
2.
利用同底等高三角形面积相等，如图可以找到6个.故选(D).
图3图4
2.求图形面积
例2已知：如图4，直角梯形ABCD中，DC∥AB,AB=8,BC⊥AB,BC=4,DC=5.求图中阴影部分面积.
解：连AC，因为DC∥AB,所以S△ADC=
S△DCE.
所以S阴影=S△ABC
=12
×8×4=16.
3.证明定理
利用同底等高面积相等可以证明一些重要定理，例如三角形中位线定理，梯形中位线定理，平行线分线段成比例定理等.下面以平行线分线段成比例定理为例给出证明.
例4有一块形状如图6所示的耕地，兄弟4人要把它平均分成四等份，请你设计一种方法，把它分成所需要的份数.
作法：连AD、DB，过E作EM∥DA交BA延长线于点M，连DM交AE于点P.过点C作CN∥
BD交AB延长线于点N，连DN交BC于点Q，取MN的四等分点M1、M2、M3，连DM1、DM2、DM3，即分为四等份.
证明：因为
ME∥AQ,CN∥BD
所以S△EPD=S△MPA,S△DCQ
=S△BQN
所以S△MDN=S原图形
所以DM1、DM2、DM3四等分耕地面积.
5.证面积相等
图7
例5如图7，点E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于点F.求证：
S△ABF
=S△EFC.
证明：连BD
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AD∥BC,AB∥CD,S△ABF=S△BDF
,S△BCD=S△ECD
所以S△BCD-S△EDC=
S△ECD-S△FCD
所以S△BDF=S△EFC,
所以S△ABF=S△
EFC.
6.判断点的存在性
图8
例6如图8，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点C.试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点E，使得△ACE与△ACD的面积相等？若存在
，请求出此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由.
分析：
△ACE与△ACD同底，可利用两平行线间同底等高面积相等，如果过点D与直线AC平行的直线与抛物线有另一交点，则点E存在，否则不存在.
解：过点D作直线AC的平行线DM，由D（1，4）、A（3，0）可知抛物线解析式为：y=-x2+2x+3,则C（0，3），直线AC解析式为y=-x+3,直线DM解析式为y=-x+5,解方程-x+5=-x2+2x+3,得x=1或x=2.所以存在点E的坐标为（2，3）
7.证明两直线平行
例7如图9，点M、N在反比例函数y=
kx(k>0)的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F.试证明MN∥EF.若改变点M、N的位置，如图9（2）所示，试判断MN与EF是否平行.
图9
证明：连结MF、NE.设点M的坐标为（x1,y1),点N的坐标为
（x2,y2),
因为点M、N在反比例函数y=
kx(k>0)的图象上，
所以x1y1=k,x2y2=k.
因为ME⊥y轴，NF⊥x轴，
所以OE=y1,OF=x2,
所以S△EFM
=12x1·y1=
12k,
S△EFN
=12x2·y2=
12
k.
S△EFM
=S△EFN.
所以MN∥EF.
同理可证MN∥EF.(略）